Solução - Combinações sem repetição

499.999.500.000

499.999.500.000

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Explicação passo a passo

1. Encontrar o número de termos no conjunto

$n$ representa o número total de itens no conjunto:

$c (n, k)$

$c (1, 000, 000, 2)$

$n = 1, 000, 000$

2. Encontrar o número de itens selecionados a partir do conjunto

$k$ representa o número de itens selecionados a partir do conjunto:

$c (n, k)$

$c (1, 000, 000, 2)$

$k = 2$

3. Calcular as combinações utilizando a fórmula

Introduzir $n$ ( $n$ =1,000,000) e $k$ ( $k$ =2) na fórmula de combinação:
$C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

6 passos adicionais

$C (1000000, 2) = \frac{1000000!}{2! (1000000 - 2)!}$

$C (1000000, 2) = \frac{1000000!}{2! \cdot 999998!}$

$C (1000000, 2) = \frac{1000000 \cdot 999999 \cdot 999998 \cdot 999997 \cdot 999996 \cdot 999995 . . . 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 999998!}$

$C (1000000, 2) = \frac{1000000 \cdot 999999 \cdot 999998 \cdot 999997 \cdot 999996 \cdot 999995 . . . 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{999998!}$

$C (1000000, 2) = \frac{1000000 \cdot 999999 \cdot 999998 \cdot 999997 \cdot 999996 \cdot 999995 . . . 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{999998 \cdot 999997 \cdot 999996 \cdot 999995 \cdot 999994 \cdot 999993 . . . 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

$C (1000000, 2) = \frac{1000000 * 999999 * 999998 * 999995 . . . 6 * 5 * 3}{999998 * 999995 * 999994 * 999993 . . . 5 * 3 * 2 * 1}$

$C (1000000, 2) = 499999500000$

Existem 499,999,500,000 formas de combinar 2 itens escolhidos a partir de um conjunto de 1,000,000.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Combinações e permutações

Se tiveres 2 tipos de massa, 4 tipos de recheio e 3 tipos de queijo, quantas combinações diferentes de pizza consegues fazer?
Se participarem 8 nadadores numa competição, quantos conjuntos diferentes de vencedores de 1.°, 2.° e 3.° lugares poderiam existir?
Quais são as hipóteses de ganhares a lotaria?

Todas estas questões podem ser respondidas utilizando dois dos conceitos mais importantes em probabilidade: combinações e permutações. Embora estes conceitos sejam muito semelhantes, a teoria da probabilidade defende que estes possuem algumas diferenças importantes. Tanto as combinações como as permutações são utilizadas para calcular o número de combinações possíveis de coisas. No entanto, a diferença mais importante entre ambas é que as combinações lidam com disposições nas quais a ordem dos itens a dispor não é relevante – tal como as combinações de recheios de pizza – enquanto as permutações lidam com disposições nas quais a ordem dos itens a dispor é relevante – como a definição de uma combinação para uma fechadura de combinação que, na verdade, deveria ser chamada fechadura de permutação, uma vez que a ordem da entrada é relevante.

O que estes dois conceitos têm em comum é que ambos nos ajudam a compreender as relações entre os conjuntos e os itens ou subconjuntos que compõem tais conjuntos. Tal como ilustrado nos exemplos acima, estes conceitos podem ser utilizados para compreender melhor muitos tipos diferentes de situações.

Termos e tópicos

Combinações e permutações