Kalkulator Tygrysiej Algebry

Parabola

Parabola to krzywa składająca się ze wszystkich punktów na wykresie, które są w tej samej odległości od danego punktu, ogniska, jak i od danej linii, dyrektrysy.

Ważne koncepcje:

Forma standardowa

• Standardowa forma paraboli poziomej: $$x=a{y}^2+by+c$$; jeżeli $$a<0$$ to parabola otwiera się w lewo; jeżeli $$a>0$$ to parabola otwiera się w prawo.
• Standardowa forma paraboli pionowej: $$y=a{x}^2+bx+c$$; jeżeli $$a<0$$ to parabola otwiera się w dół jak smutek; jeżeli $$a>0$$ to parabola otwiera się w górę jak uśmiech.

Forma wierzchołkowa (vertex form)
Wierzchołek paraboli zazwyczaj jest reprezentowany przez $$h$$ (dla współrzędnej x) oraz $$k$$ (dla współrzędnej y), które można znaleźć za pomocą formy wierzchołkowej. W formie wierzchołkowej zarówno dla parabol poziomych, jak i pionowych, $$a$$ reprezentuje odbicie względem osi x i/lub pionowe rozciągnięcie lub kompresję, $$h$$ reprezentuje translację poziomą (przesunięcie w lewo lub w prawo), a $$k$$ reprezentuje translację pionową (przesunięcie w górę lub w dół).

• Forma wierzchołkowa paraboli poziomej: $$x=a{\left(y-k\right)}^2+h$$, gdzie; jeżeli $$a<0$$ to wierzchołek jest po prawej, a parabola otwiera się w lewo; jeżeli $$a>0$$ to wierzchołek jest po lewej, a parabola otwiera się w prawo.
• Forma wierzchołkowa paraboli pionowej: $$y=a{\left(x-h\right)}^2+k$$; jeżeli $$a<0$$ to wierzchołek jest punktem najwyższym; jeżeli $$a>0$$ to wierzchołek jest punktem najniższym.

Punkty

• Wierzchołek $$\left(h,k\right)$$: Punkt początkowy paraboli, który znajduje się między dyrektrysą a ogniskiem. Forma wierzchołkowa (patrz Forma wierzchołkowa) może być użyta do znalezienia wierzchołka parabol poziomych i pionowych.
• Ognisko $$\left(h\pm p,k\right)\left(h,k\pm p\right)$$: Ognisko paraboli jest punktem, który znajduje się w krzywiźnie paraboli i wokół którego parabola się zakrzywia. Odległości od ogniska i dyrektrysy do dowolnego punktu na hiperboli są takie same.

Linie, odcinki i osie

• Oś symetrii: Linia, która przechodzi przez wierzchołek paraboli, tworząc dwie zgodne połówki.
• Dyrektrysa: Linia, która biegnie prostopadle do osi symetrii paraboli i równolegle do jej latus rectum. Odległość od wierzchołka paraboli do jej dyrektrysy jest taka sama jak odległość od wierzchołka paraboli do jej ogniska.
• Długość ogniskowa $$\left(p\right)$$: Odległość między wierzchołkiem paraboli a jej ogniskiem. Ta odległość jest równa odległości między wierzchołkiem paraboli a jej dyrektrysą.
• Latus rectum $$\left(4p\right)$$: Odcinek linii znajdujący się wewnątrz paraboli, który przechodzi przez ognisko paraboli i jest prostopadły do osi symetrii paraboli. Długość latus rectum jest równa czterokrotności długości ogniskowej paraboli i można ją przedstawić jako $$4p$$.