Kalkulator Tygrysiej Algebry

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna (nazywana czasem modułem lub wartością bezwzględną) to odległość liczby, wyrażenia, wielomianu lub wyrażenia od zera, niezależnie od tego, czy jest dodatnie, czy ujemne. Na przykład: $$4$$ i $$-4$$ są w tej samej odległości od $$0$$, więc obie mają wartość bezwzględną równą $$4$$.


Wartość bezwzględna jest reprezentowana przez dwie kreski, po jednej z każdej strony liczby, wyrażenia, wielomianu lub wyrażenia. Na przykład, wartość bezwzględna $$-4$$ byłaby zapisana jako $$|-4|$$

Własności wartości bezwzględnych

• Nieujemność: $$\left|x\right|\ge 0$$
  Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, co oznacza, że zawsze daje zero lub dodatnie.


• $$\left|x\right|=\sqrt{x^2}$$: Podniesienie liczby do kwadratu sprawia, że jest dodatnia (lub zero, jeśli liczba jest zero), a pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratu daje rozwiązanie dodatnie (lub zero, jeśli liczba jest zero). Ten sposób działa tylko wtedy, gdy $$x$$ jest liczbą rzeczywistą.


• Mnożenie: $$|x·y|=\left|x\right|·\left|y\right|$$
  Wartość bezwzględna iloczynu dwóch liczb jest równa iloczynowi wartości bezwzględnej każdej z liczb.


• Podaddytywność: $$|x+y|\le \left|x\right|+\left|y\right|$$
  Wartość bezwzględna sumy dwóch liczb rzeczywistych jest mniejsza lub równa sumie wartości bezwzględnych tych dwóch liczb.


• $$\left|x\right|=y\to x=\pm y$$ lub $$\left|x\right|=\pm x$$: Jeśli wartość bezwzględna $$x$$ jest równa $$y$$, to $$x$$ jest równe plus lub minus $$y$$. Ta zasada jest używana do rozwiązywania większości pytań z wartością bezwzględną.

Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną to równania, w których zmienna znajduje się w operatorze wartości bezwzględnej.
Przykład: $$|x-4|=10$$
Zaż wartość $$x-4$$ może być $$10$$ lub $$-10$$, które obie mają wartość bezwzględną równą $$10$$, więc musimy rozważyć oba przypadki: $$x-4=10$$ i $$x-4=-10$$. Można to zapisać również jako $$x-4=\pm 10$$.

Więc, $$|x-4|=10$$ ma dwie liczby rozwiązania
$$x-4=10$$ → $$x=14$$
$$x-4=-10$$ → $$x=-6$$
Jako że wartości bezwzględne są zawsze nieujemne, jest możliwe, że równania nie mają rozwiązania.
Przykład: $$|x-5|=-9$$
Równania i nierówności z wartościami bezwzględnymi są rozwiązane i wyjaśniane krok po kroku za pomocą modułu Tiger Algebra Absolute Value.