Kalkulator Tygrysiej Algebry

Ułamek przedstawia mniejszą część całości i zazwyczaj zapisuje się go jako licznik, który reprezentuje mniejszą część, nad mianownikiem, który reprezentuje całość. Aby wyrazić ułamek jako pojedynczą liczbę, iloraz, dzielimy licznik przez mianownik.
Istnieją trzy główne rodzaje ułamków:

• Ułamki właściwe

  Licznik jest mniejszy od mianownika. $$\frac{1}{4}$$ jest ułamkiem właściwym.



• Ułamki niewłaściwe

  Licznik jest większy od mianownika. $$\frac{5}{4}$$ jest ułamkiem niewłaściwym.



• Ułamki mieszane

  Liczba całkowita połączona z ułamkiem właściwym. $$2\frac{3}{4}$$ jest ułamkiem mieszanym.

Ważne jest, aby zauważyć, że ułamki niewłaściwe i ułamki mieszane mogą być używane do wyrażania tych samych wartości. Na przykład: $$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$.
Podczas wykonywania operacji z ułamkami zazwyczaj jest łatwiej najpierw przekształcić wszystkie liczby całkowite i/lub ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe:

• Aby przekształcić liczbę całkowitą na ułamek niewłaściwy, po prostu umieść liczbę całkowitą nad $$1$$. Na przykład, $$3$$ stanie się $$\frac{3}{1}$$.
• Aby przekształcić ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, pomnóż mianownik (liczbę dolną) przez liczbę całkowitą (liczbę na przodzie lub po lewej stronie ułamka), dodaj iloczyn do licznika (liczby górnej), a sumę zapisz nad oryginalnym licznikiem. Na przykład, przekształcając $$2\frac{3}{4}$$ na ułamek niewłaściwy, pomnożylibyśmy mianownik, $$4$$, przez liczbę całkowitą, $$2$$, aby otrzymać $$8$$. Następnie dodalibyśmy to do licznika, $$3$$, aby otrzymać $$11$$, które umieścilibyśmy nad oryginalnym mianownikiem, $$4$$, aby otrzymać $$\frac{11}{4}$$.

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Ogólna zasada dla dodawania ułamków to: $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$$
Ogólna zasada dla odejmowania ułamków to: $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}$$
Są 4 kroki do dodawania i odejmowania ułamków:

1. Uprość ułamki poprzez ich redukcję, jeżeli to możliwe. Podziel licznik (liczbę górną) i mianownik (liczbę dolną) przez ich największy wspólny dzielnik (nwd). Nwd zestawu liczb to najwyższa liczba, która może podzielić równo wszystkie liczby w zestawie bez reszty. Na przykład, $$3$$ jest największą liczbą przez którą $$3$$ i $$9$$ mogą być równo podzielone, więc możemy podzielić licznik i mianownik $$\frac{3}{9}$$ przez $$3$$ redukując go do $$\frac{1}{3}$$. Inny przykład to $$\frac{4}{16}$$, które redukuje się do $$\frac{1}{4}$$.


2. Znajdź wspólny mianownik ułamków. Istnieją dwa sposoby na znalezienie wspólnego mianownika:
   1. Pomnóż górę i dół każdego ułamka przez mianownik drugiego ułamka. Na przykład, $$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1·4}{3·4}+\frac{1·3}{4·3}=\frac{1·4}{12}+\frac{1·3}{12}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}$$
   2. Znajdź najmniejszy wspólny mianownik. Robimy to, znajdując najmniejszą wspólną wielokrotność (nww) mianowników i używając jej jako wspólnego mianownika. Istnieją dwa sposoby na znalezienie nww: wymienianie wielokrotności liczb (solver wkrótce dostępny!) i poprzez rozłożenie na czynniki pierwsze.


3. Dodaj lub odejmij liczniki. W tym momencie ułamki powinny mieć ten sam mianownik, co oznacza, że możemy po prostu dodać lub odjąć liczniki i zapisać wynik nad mianownikiem, który znaleźliśmy w poprzednich krokach. Na przykład, $$\frac{4}{12}+\frac{3}{12}$$ stanie się $$\frac{7}{12}$$.


4. Uprość wynikowy ułamek poprzez redukcję, jeśli to możliwe, jak opisano powyżej w kroku 1. Jeśli wynik był $$\frac{4}{8}$$, na przykład, zredukowałbymy go do $$\frac{1}{2}$$.

Mnożenie ułamków

Ogólna zasada mnożenia ułamków to: $$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{a·c}{b·d}$$
Są 4 kroki do mnożenia ułamków:

1. Uprość ułamki poprzez ich redukcję, jeżeli to możliwe. Podziel licznik (liczbę górną) i mianownik (liczbę dolną) przez ich największy wspólny dzielnik (nwd). Nwd zestawu liczb to najwyższa liczba, która może podzielić równo wszystkie liczby w zestawie bez reszty. Na przykład, $$3$$ jest największą liczbą przez którą $$3$$ i $$9$$ mogą być równo podzielone, więc możemy podzielić licznik i mianownik $$\frac{3}{9}$$ przez $$3$$ redukując go do $$\frac{1}{3}$$. Inny przykład to $$\frac{4}{16}$$, które redukuje się do $$\frac{1}{4}$$.


2. Pomnóż liczniki (liczby górne). Na przykład, $$\frac{2}{3}·\frac{3}{5}$$ stanie się $$\frac{6}{3·5}$$


3. Pomnóż mianowniki (liczby dolne). Na przykład, $$\frac{6}{3·5}$$ stanie się $$\frac{6}{15}$$.


4. Uprość wynikowy ułamek poprzez redukcję, jeśli to możliwe, jak opisano powyżej w kroku 1. Jeśli wynik był $$\frac{4}{8}$$, na przykład, zredukowałbymy go do $$\frac{1}{2}$$.

Dzielenie ułamków

Dzielenie ułamków jest bardzo podobne do mnożenia ułamków, ale zawiera dodatkowy krok, w którym zamieniamy miejscami licznik i mianownik dzielnika - liczby, przez którą podzielimy inny ułamek - aby znaleźć jego odwrotność. Stąd po prostu mnożymy ułamki.

Ogólna zasada dla dzielenia ułamków to: $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a·d}{b·c}$$
Są 5 kroki do dzielenia ułamków:

1. Uprość ułamki poprzez ich redukcję, jeżeli to możliwe. Podziel licznik (liczbę górną) i mianownik (liczbę dolną) przez ich największy wspólny dzielnik (nwd). Nwd zestawu liczb to najwyższa liczba, która może podzielić równo wszystkie liczby w zestawie bez reszty. Na przykład, $$3$$ jest największą liczbą przez którą $$3$$ i $$9$$ mogą być równo podzielone, więc możemy podzielić licznik i mianownik $$\frac{3}{9}$$ przez $$3$$ redukując go do $$\frac{1}{3}$$. Inny przykład to $$\frac{4}{16}$$, które redukuje się do $$\frac{1}{4}$$.


2. Przełóż ułamek, przez który dzielimy (dzielnik), tak aby licznik był na dole, a mianownik na górze. Na przykład, $$\frac{3}{4}:\frac{1}{3}$$ stanie się $$\frac{3}{4}·\frac{3}{1}$$.
   
3. Pomnóż liczniki (liczby górne). Na przykład, $$\frac{2}{3}·\frac{3}{5}$$ stanie się $$\frac{6}{3·5}$$


4. Pomnóż mianowniki (liczby dolne). Na przykład, $$\frac{6}{3·5}$$ stanie się $$\frac{6}{15}$$.


5. Uprość wynikowy ułamek poprzez redukcję, jeśli to możliwe, jak opisano powyżej w kroku 1. Jeśli wynik był $$\frac{4}{8}$$, na przykład, zredukowałbymy go do $$\frac{1}{2}$$.