Kalkulator Tygrysiej Algebry

Rozkład normalny
Rozkład normalny (znany również jako rozkład Gaussa, Gaussa lub rozkład Laplace’a–Gaussa lub krzywa dzwonowa) to rozkład prawdopodobieństwa, który wiąże prawdopodobieństwo kumulatywne ze zmienną losową $$X$$. Środek rozkładu normalnego zawsze znajduje się w średniej, w której rozkład jest całkowicie symetryczny.



Oznaczenia
Statystycy zazwyczaj używają wielkich liter do reprezentowania zmiennych losowych i małych liter do reprezentowania ich wartości. Na przykład:

• $$x$$ to wartość zmiennej losowej $$X$$.
• $$x$$ reprezentuje prawdopodobieństwo $$P\left(X\right)$$.
• $$P\left(X=x\right)$$ reprezentuje prawdopodobieństwo, że zmienna losowa $$X$$ jest równa określonej wartości $$x$$. Na przykład $$P\left(X=1\right)$$ odnosi się do prawdopodobieństwa, że zmienna losowa $$X$$ jest równa $$1$$.

Inne przykłady
$$P\left(30<X\right)$$: Jakie jest prawdopodobieństwo, że $$X$$ jest większe niż $$30$$?
$$P\left(X<80\right)$$: Jakie jest prawdopodobieństwo, że $$X$$ jest mniejsze niż $$80$$?
$$P\left(30<X<80\right)$$: Jakie jest prawdopodobieństwo, że $$X$$ mieści się między $$30$$ a $$80$$?
$$P\left(30>X>80\right)$$: Jakie jest prawdopodobieństwo, że $$X$$ jest większe niż $$80$$ i mniejsze niż $$30$$?

Parametry rozkładu normalnego
Średnia i odchylenie standardowe to dwa główne parametry rozkładu normalnego. Określają one zarówno kształt rozkładu, jak i prawdopodobieństwa.

Średnia
$$\mu$$ lub $$x̅$$
Średnia to położenie środka i szczytu rozkładu, co oznacza, że wszelkie zmiany średniej przesuwają krzywą rozkładu w lewo lub w prawo wzdłuż osi x. Większość punktów danych (wartości) znajduje się wokół średniej.

Odchylenie standardowe
$$\sigma$$ lub $$s$$
Odchylenie standardowe mierzy, jak daleko punkty danych są od średniej rozkładu. Określa szerokość rozkładu normalnego. Większe odchylenie standardowe skutkuje krótszymi, szerszymi krzywymi, a mniejsze odchylenia standardowe skutkują wyższymi, węższymi krzywymi.

Właściwości rozkładu normalnego

1. Jest symetryczny
   Rozkład normalny jest idealnie symetryczny, co oznacza, że krzywą rozkładu można złożyć na środku, wzdłuż średniej, aby uzyskać dwie identyczne połówki. Ten symetryczny kształt jest wynikiem tego, że połowa obserwacji przypada na każdą stronę krzywej.
2. Średnia, mediana i moda są równe
   Ponieważ rozkład normalny jest symetryczny, jego środek reprezentuje średnią wszystkich punktów danych. Oznacza to, że jego mediana (wartość w środku zestawu, gdy jego wartości są uporządkowane od najmniejszej do największej) znajduje się również w centrum rozkładu i jest taka sama jak średnia. Szczyt, najwyższy punkt krzywej rozkładu normalnego, znajduje się również w środku wykresu, co oznacza, że moda rozkładu, jego najczęściej występująca wartość, a zatem najwyższy punkt na wykresie, również znajduje się w centrum rozkładu. Te dane rozkładu normalnego reprezentują punkty danych (wartości), które występują. Średnia jest środkiem rozkładu, ponieważ średnia jest punktem, który występuje najczęściej. Punkt środkowy jest również punktem, w którym znajdują się te trzy miary. Miary są zwykle równe w rozkładzie idealnie (normalnym). Połowa populacji jest mniejsza od średniej, a połowa jest większa od średniej.
3. Reguła empiryczna
   Nazywana również regułą 68-95-99,7. Reguła empiryczna opisuje procent danych, które mieszczą się w określonych liczbach odchyleń standardowych od średniej dla krzywych dzwonowych.
   
   W danych o rozkładzie normalnym istnieje stała proporcja odległości leżącej pod krzywą między średnią a określoną liczbą odchyleń standardowych od średniej. Reguła empiryczna pozwala określić proporcję wartości mieszczących się w pewnych odległościach od średniej.
   
   68,25% wszystkich przypadków mieści się w zakresie +/- jednego odchylenia standardowego od średniej.
   95% wszystkich przypadków mieści się w zakresie +/- dwóch odchyleń standardowych od średniej.
   99,7% wszystkich przypadków mieści się w zakresie +/- trzech odchyleń standardowych od średniej.
   
   

Standardowy rozkład normalny

Standardowy rozkład normalny jest szczególnym przypadkiem rozkładu normalnego, w którym średnia wynosi zero, a odchylenie standardowe wynosi jeden. Ten rozkład jest również nazywany rozkładem Z.