Kalkulator Tygrysiej Algebry

Logarytmy odpowiadają na pytanie: "Jakiego wykładnika potrzebujemy, aby podnieść określoną liczbę do innej określonej liczby?" albo prościej: "Ile razy musimy pomnożyć liczbę przez siebie, aby uzyskać inną określoną liczbę?" Na przykład: Jakiego wykładnika potrzebujemy, aby podnieść $$3$$ do wartości $$81$$ lub ile razy musimy pomnożyć $$3$$ przez siebie, aby uzyskać $$81$$? Odpowiedź to $$4$$, co czyni równanie dla tego problemu $$lo{g}_{3}81=4$$. Czytane na głos, to by było: "logarytm $$81$$ o podstawie $$3$$ wynosi $$4$$ czyli logarytm o podstawie $$3$$ z $$81$$ wynosi $$4$$, czyli logarytm z podstawą $$3$$ z $$81$$ wynosi $$4$$.

Liczba, którą mnożymy przez siebie, nazywa się podstawą logarytmu. W przykładzie, $$3$$ to podstawa logarytmu.
Liczba między podstawą a znakiem = nazywa się argumentem i jest to liczba, którą otrzymujemy, podnosząc podstawę logarytmu ($$3$$) do wyniku równania ($$4$$). W przykładzie, $$81$$ to argument.
Rozwiązanie logarytmu to wykładnik, do którego podnosimy podstawę logarytmu, aby uzyskać argument logarytmu. W naszym przykładzie, $$4$$ to rozwiązanie.

Logarytm napisany bez podstawy zazwyczaj ma podstawę $$10$$ i nazywa się logarytmem dziesiętnym. Na przykład, $$log100=lo{g}_{10}100$$
Przycisk log na kalkulatorach wprowadza logarytm dziesiętny.
Naturalne logarytmy, z drugiej strony, zapisuje się jako ln i są logarytmami o podstawie $$e$$. W tym kontekście, $$e$$ oznacza liczbę Eulera, liczbę niewymierną, która wynosi w przybliżeniu 2,7182. Naturalny logarytm można wprowadzić na kalkulatorze naciskając przycisk ln.

Logarytmy mogą być również dodatnie lub ujemne i zawierać liczby dziesiętne.

Właściwości logarytmów o tej samej podstawie:

Zasada iloczynu: $$lo{g}_{a}x+lo{g}_{a}y=lo{g}_a\left(x·y\right)$$
Zasada ilorazu: $$lo{g}_{a}x-lo{g}_{a}y=lo{g}_a\left(\frac{x}{y}\right)$$
Zasada wykładnika: $$lo{g}_a\left(x^b\right)=b·lo{g}_{a}x$$
Zasada odwrotności: $$-lo{g}_{a}x=lo{g}_a\left(\frac{1}{x}\right)$$
Zasada równości: jeżeli $$lo{g}_{a}x=lo{g}_{a}y$$ to wówczas $$x=y$$


Zmiana właściwości podstawy:

$$lo{g}_{a}x=\frac{lo{g}_{b}x}{lo{g}_{b}a}$$

$$lo{g}_{a}x=\frac{1}{lo{g}_{x}a}$$


Relacja pomiędzy logarytmami, wykładnikami i pierwiastkami:
Jeśli napisalibyśmy równanie wykładnicze trzy razy, za każdym razem zastępując inną wartość zmienną, otrzymalibyśmy trzy bardzo różne, ale ściśle powiązane równania.
Spójrzmy na równanie wykładnicze: $$3^4=81$$.

Scenariusz 1: Zastąpienie rozwiązania zmienną
Zastąpienie rozwiązania $$x$$ dałoby nam $$3^4=x$$, co upraszcza do $$x=81$$

Scenariusz 2: Zastąpienie wykładnika zmienną
Zastąpienie wykładnika $$x$$ dałoby nam $$3^x=81$$, co jest równaniem logarytmicznym, które można przepisać jako $$lo{g}_{3}81=x$$ i uprościć jako $$x=4$$

Scenariusz 3: Zastąpienie podstawy zmienną
Zastąpienie podstawy $$x$$ dałoby nam $$x^4=81$$, które można przepisać jako $$\sqrt[4]{81}=x$$ i uprościć jako $$x=3$$