Kalkulator Tygrysiej Algebry

Kombinacja to sposób układania przedmiotów z zestawu, gdy kolejność układu nie ma znaczenia. Przykładem może być wybranie trzech losowych numerów z listy dziewięciu. Nie ma znaczenia, czy wybierzesz $$1$$, następnie $$7$$, a potem $$4$$, czy jeżeli wybierzesz $$7$$, następnie $$1$$, a potem $$4$$.
Permutacja to sposób układania elementów z zestawu, gdy kolejność ma znaczenie. Przykładem może być kod do zamka. Jeżeli kod to $$1,7,4$$, nie można go wprowadzić jako $$1,4,7$$ ani $$4,7,1$$ ani w żadnej innej kolejności.
Dopóki w zestawie jest więcej niż jeden element, zawsze będzie więcej permutacji niż kombinacji.

Zarówno kombinacje, jak i permutacje mogą wystąpić z powtarzanymi lub bez powtórzeń, co oznacza, że zawierają jeden lub więcej elementów wiele razy lub nie. Nie może wydawać się to istotne, ale powtarzanie elementów w zestawie znacząco zmienia sposób, w jaki powinniśmy go podejść.

Oznaczenia
$$n$$ zazwyczaj oznacza całkowitą liczbę przedmiotów w zestawie.
$$k$$ zazwyczaj oznacza liczbę przedmiotów w wybranym podzbiorze.
$$C$$ zazwyczaj oznacza kombinacje.
$$P$$ zazwyczaj oznacza permutacje.

$$P\left(n,k\right)$$ oznacza liczbę różnych permutacji podzbioru ($$k$$) z większego zbioru ($$n$$) i może również być napisane jako:
OBRAZ ZOSTAŁ POMINIĘTY
$$C\left(n,k\right)$$ oznacza liczbę różnych kombinacji podzbioru ($$k$$) z większego zbioru ($$n$$) i może również być napisane jako:
OBRAZ ZOSTAŁ POMINIĘTY
To oznaczenie jest również czasami nazywane "n wybierz k".

Formuły
Do rozwiązywania permutacji i kombinacji używamy funkcji silnia.

Permutacje z powtarzaniem
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
Np: Ile jest różnych permutacji podzbioru $$3$$ z całkowitej liczby $$9$$ przedmiotów, gdy mogą wystąpić powtórzenia?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Permutacje bez powtarzania
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
Np: Ile jest różnych permutacji podzbioru $$3$$ z całkowitej liczby $$9$$ przedmiotów, gdy nie mogą wystąpić powtórzenia?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Kombinacje z powtarzaniem
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
Np: Ile jest różnych kombinacji podzbioru $$3$$ z całkowitej liczby $$9$$ przedmiotów, gdy mogą wystąpić powtórzenia?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Kombinacje bez powtarzania link do tego ćwiczenia
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
Np: Ile jest różnych kombinacji podzbioru $$3$$ z całkowitej liczby $$9$$ przedmiotów, gdy nie mogą wystąpić powtórzenia?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$