Kalkulator Tygrysiej Algebry

Ciąg geometryczny, nazywany też szereg geometryczny lub ciągiem geometrycznym, to zestaw liczb powstałych poprzez pomnożenie każdej poprzedniej liczby w zestawie przez stałą. Współczynnik, przez który mnożony jest każdy kolejny element, nazywany jest wspólnym mnożnikiem, ponieważ jest wspólny dla wszystkich elementów w zestawie. Wspólny mnożnik nie może być równy $$0$$ $$\left(r\ne 0\right)$$.
Standardową formę ciągów geometrycznych można wyrazić jako:
$$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^4...$$ gdzie:

• $$a$$ reprezentuje pierwszy wyraz i czasami zapisywany jest jako $$a_1$$.
• $$r$$ reprezentuje wspólny mnożnik.

Przykład: Jeżeli pierwszym wyrazem ciągu jest $$1$$ a wspólnym mnożnikiem jest $$3$$, to każdy kolejny wyraz można otrzymać mnożąc poprzedni wyraz przez 3, a ciąg wyglądałby tak:
$$1,3,9,27,81...$$
Co można również zapisać jako:
$$1,1·3,1·3^2,1·3^3,1·3^4...$$

Formuły
Znalezienie dowolnego wyrazu ($$a_n$$) w ciągu geometrycznym:
$$a_n=a·r^{\left(n-1\right)}$$

• $$a$$ reprezentuje pierwszy wyraz.
• $$n$$ reprezentuje pozycję wyrazu w ciągu. Ciąg z $$n$$ liczbą wyrazów, na przykład, mógłby być zapisany jako:
  $$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^4...a·r^{\left(n-1\right)}$$ gdzie ostatni wyraz jest podniesiony do potęgi $$n-1$$ (ponieważ pierwszy wyraz jest podniesiony do potęgi $$0$$).
• $$r$$ reprezentuje wspólny mnożnik.

Przykład: Aby znaleźć następny wyraz w $$1,3,9,27,81...$$, który byłby 6-tym wyrazem, podstawiamy do formuły, $$a_n=a·r^{\left(n-1\right)}$$:
$$a$$ (pierwszy wyraz)$$=1$$
$$r$$ (wspólny mnożnik)$$=3$$
$$n$$ (numer wyrazu)$$=6$$.

Co daje nam $$a_6=1·3^{\left(6-1\right)}$$, co można rozwiązać, uzyskując $$a_6=243$$. Więc nasz ciąg byłby: $$1,3,9,27,81,243...$$

Znalezienie sumy wszystkich wyrazów w ciągu geometrycznym:
$$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$

• $$s$$ jest sumą wyrazów w ciągu.
• $$a$$ reprezentuje pierwszy wyraz.
• $$n$$ reprezentuje pozycję wyrazu w ciągu.
• $$r$$ reprezentuje wspólny mnożnik.

Przykład: Aby znaleźć sumę $$1,3,9,27,81$$ podstawiamy do formuły sumy, $$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$:
$$a$$ (pierwszy wyraz)$$=1$$
$$r$$ (wspólny mnożnik)$$=3$$
$$n$$ (całkowita liczba wyrazów)$$=5$$.

Co daje nam $$s=1\left(\left(1-3^5\right)/\left(1-3\right)\right)$$, co można rozwiązać, uzyskując $$s=121$$.