Rozwiązanie - Właściwości elips

$$a$$ reprezentuje dłuższy promień elipsy, który jest równy połowie głównej osi.
Nazywa się to półosią główną.
Aby znaleźć wartość $$a$$, skorzystaj z standardowej formy elipsy pionowej:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$a^2=64$$
Wykonaj pierwiastkowanie obu stron równania:
$$a=8$$

Ponieważ $$a$$ reprezentuje odległość, ma tylko wartość dodatnią.

W elipsie pionowej, główna oś przebiega równolegle do osi y i przechodzi przez wierzchołki elipsy. Znajdź wierzchołki, dodając i odejmując $$a$$ od współrzędnej y ($$k$$) środka.

Aby znaleźć wierzchołek_1, dodaj $$a$$ do współrzędnej y ($$k$$) środka:
Wierzchołek_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Środek: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Wierzchołek_1: $$\left(3,-1+8\right)$$
Wierzchołek_1: $$\left(3,7\right)$$

Aby znaleźć wierzchołek_2, odejmij $$a$$ od współrzędnej y ($$k$$) środka:
Wierzchołek_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Środek: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Wierzchołek_2: $$\left(3,-1-8\right)$$
Wierzchołek_2: $$\left(3,-9\right)$$

$$b$$ reprezentuje krótszy promień elipsy, który jest równy połowie mniejszej osi. Nazywa się to półosią mniejszą.
Aby znaleźć wartość $$b$$, użyj standardowej formy elipsy pionowej:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$b^2=16$$
Oblicz pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:
$$b=4$$
Ponieważ b reprezentuje odległość, ma tylko wartość dodatnią.

W elipsie pionowej, mniejsza oś przebiega równolegle do osi x i przechodzi przez współwierzchołki elipsy.
Znajdź współwierzchołki, dodając i odejmując $$b$$ od współrzędnej x ($$h$$) środka.

Aby znaleźć współwierzchołek_1, dodaj $$b$$ do współrzędnej x ($$h$$) środka:
Współwierzchołek_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Środek: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
Współwierzchołek_1: $$\left(3+4,-1\right)$$
Współwierzchołek_1: $$\left(7,-1\right)$$

Aby znaleźć współwierzchołek_2, odejmij $$b$$ od współrzędnej x ($$h$$) środka:
Współwierzchołek_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Środek: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
Współwierzchołek_2: $$\left(3-4,-1\right)$$
Współwierzchołek_2: $$\left(-1,-1\right)$$

Ogniskowa to odległość od środka elipsy do każdego punktu ogniskowego i zazwyczaj jest reprezentowana przez $$f$$.

Aby znaleźć $$f$$, skorzystaj z formuły:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
Podstaw $$a^2$$ i $$b^2$$ do formuły i uproszcz:

$$f=\sqrt{64-16}$$

$$f=\sqrt{48}$$

$$f=6,928$$

Ponieważ $$f$$ reprezentuje odległość, ma tylko wartość dodatnią.

W elipsie pionowej, główna oś biegnie równolegle do osi y i przechodzi przez ogniska.
Znajdź ogniska, dodając i odejmując $$f$$ do współrzędnej y $$\left(k\right)$$ środka.

Aby znaleźć ognisko_1, dodaj $$f$$ do współrzędnej y $$\left(k\right)$$ środka:
Ognisko_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6.928$$
Ognisko_1: $$\left(3,-1+6.928\right)$$
Ognisko_1: $$\left(3,5.928\right)$$

Aby znaleźć ognisko_2, odejmij $$f$$ od współrzędnej y $$\left(k\right)$$ środka:
Ognisko_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6.928$$
Ognisko_2: $$\left(3,-1-6.928\right)$$
Ognisko_2: $$\left(3,-7.928\right)$$

Użyj wzoru na pole elipsy, aby znaleźć pole elipsy:
$$\pi ·a·b$$
$$a=8$$
$$b=4$$
Wstaw $$a$$ i $$b$$ do wzoru i uproszcz:

$$\pi ·8·4$$

$$\pi ·32$$

Pole wynosi $$32\pi$$

Aby znaleźć miejsce zerowe x, podstaw $$0$$ dla $$y$$ w standardowym równaniu elipsy i rozwiąż wynikające równanie kwadratowe dla $$x$$.
Kliknij tutaj, aby uzyskać krok po kroku wyjaśnienie równania kwadratowego.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(0+1\right)}^2}{64}=1$$

$$x_1=6,969$$

$$x_2=-0,969$$

Aby znaleźć miejsce zerowe y, podstaw $$0$$ dla $$x$$ w standardowym równaniu elipsy i rozwiąż wynikające równanie kwadratowe dla $$y$$.
Kliknij tutaj, aby uzyskać krok po kroku wyjaśnienie równania kwadratowego.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(0-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$y_1=4,292$$

$$y_2=-6,292$$

Aby znaleźć ekscentryczność, użyj poniższego wzoru:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
$$a=8$$
Podstaw $$a^2$$ , $$b^2$$ oraz $$a$$ do wzoru:

$$\frac{\sqrt{64-16}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{48}}{8}$$

$$\frac{6,928}{8}$$

$$0,866$$

Mimośródność wynosi $$0,866$$