Rozwiązanie - Właściwości elips

$$a$$ reprezentuje dłuższy promień elipsy, który jest równy połowie osi głównej. To się nazywa półosia główna.
Aby znaleźć wartość $$a$$, użyj standardowej formy elipsy poziomej:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$
$$a^2=16$$
Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:
$$a=4$$

Ponieważ $$a$$ reprezentuje odległość, ma tylko wartość dodatnią.

W elipsie poziomej, główna oś biegnie równolegle do osi x i przechodzi przez wierzchołki elipsy. Znajdź wierzchołki, dodając i odejmując $$a$$ do współrzędnej x $$\left(h\right)$$ środka.

Aby znaleźć wierzchołek_1, dodaj $$a$$ do współrzędnej x $$\left(h\right)$$ środka:
Wierzchołek_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Środek: $$\left(h,k\right)=\left(1,-1\right)$$
$$h=1$$
$$k=-1$$
$$a=4$$
Wierzchołek_1: $$\left(1+4,-1\right)$$
Wierzchołek_1: $$\left(5,-1\right)$$

Aby znaleźć wierzchołek_2, odejmij $$a$$ od współrzędnej x ($$h$$) środka:
Wierzchołek_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Środek: $$\left(h,k\right)=\left(1,-1\right)$$
$$h=1$$
$$k=-1$$
$$a=4$$
Wierzchołek_2: $$\left(1-4,-1\right)$$
Wierzchołek_2: $$\left(-3,-1\right)$$

$$b$$ reprezentuje krótszy promień elipsy, który jest równy połowie mniejszej osi. Nazywa się to półosią mniejszą.
Aby znaleźć wartość $$b$$, użyj standardowej formy elipsy poziomej:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$
$$b^2=4$$
Pobierz pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:
$$b=2$$
Ponieważ b reprezentuje odległość, ma tylko wartość dodatnią.

W elipsie poziomej, mniejsza oś przebiega równolegle do osi y i przechodzi przez współrzędne elipsy.
Znajdź współrzędne dodając i odejmując $$b$$ od współrzędnej y $$\left(k\right)$$ środka.

Aby znaleźć współrzędną_1, dodaj $$b$$ do współrzędnej y $$\left(k\right)$$ środka:
Współrzędna_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Środek: $$\left(h,k\right)=\left(1,-1\right)$$
$$h=1$$
$$k=-1$$
$$b=2$$
Współrzędna_1: $$\left(1,-1+2\right)$$
Współrzędna_1: $$\left(1,1\right)$$

Aby znaleźć współrzędną_2, odejmij $$b$$ od współrzędnej y $$\left(k\right)$$ środka:
Współrzędna_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Środek: $$\left(h,k\right)=\left(1,-1\right)$$
$$h=1$$
$$k=-1$$
$$b=2$$
Współrzędna_2: $$\left(1,-1-2\right)$$
Współrzędna_2: $$\left(1,-3\right)$$

Długość ogniskowa to odległość od środka elipsy do każdego punktu ogniskowego i zwykle reprezentowana jest przez $$f$$.

Aby znaleźć $$f$$, użyj formuły:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=16$$
$$b^2=4$$
Podstaw $$a^2$$ i $$b^2$$ do formuły i uproszczone:

$$f=\sqrt{16-4}$$

$$f=\sqrt{12}$$

$$f=3,464$$

Ponieważ $$f$$ reprezentuje dystans, ma tylko wartość dodatnią.

W elipsie poziomej, oś główna biegnie równolegle do osi x i przez ogniska.
Znajdź ogniska, dodając i odejmując $$f$$ do współrzędnej x $$\left(h\right)$$ środka.

Aby znaleźć ognisko_1, dodaj $$f$$ do współrzędnej x $$\left(h\right)$$ środka:
Ognisko_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centrum: $$\left(h,k\right)=\left(1,-1\right)$$
$$h=1$$
$$k=-1$$
$$f=3.464$$
Ognisko_1: $$\left(1+3.464,-1\right)$$
Ognisko_1: $$\left(4.464,-1\right)$$

Aby znaleźć ognisko_2, odejmij $$f$$ od współrzędnej x $$\left(h\right)$$ środka:
Ognisko_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centrum: $$\left(h,k\right)=\left(1,-1\right)$$
$$h=1$$
$$k=-1$$
$$f=3.464$$
Ognisko_2: $$\left(1-3.464,-1\right)$$
Ognisko_2: $$\left(-2.464,-1\right)$$

Użyj wzoru na pole elipsy, aby znaleźć pole elipsy:
$$\pi ·a·b$$
$$a=4$$
$$b=2$$
Wstaw $$a$$ i $$b$$ do wzoru i uproszcz:

$$\pi ·4·2$$

$$\pi ·8$$

Pole wynosi $$8\pi$$

Aby znaleźć miejsce zerowe x, podstaw $$0$$ dla $$y$$ w standardowym równaniu elipsy i rozwiąż wynikające równanie kwadratowe dla $$x$$.
Kliknij tutaj, aby uzyskać krok po kroku wyjaśnienie równania kwadratowego.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{16}+\frac{{\left(0+1\right)}^2}{4}=1$$

$$x_1=4,464$$

$$x_2=-2,464$$

Aby znaleźć miejsce zerowe y, podstaw $$0$$ dla $$x$$ w standardowym równaniu elipsy i rozwiąż wynikające równanie kwadratowe dla $$y$$.
Kliknij tutaj, aby uzyskać krok po kroku wyjaśnienie równania kwadratowego.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$

$$y_1=0,936$$

$$y_2=-2,936$$

Aby znaleźć ekscentryczność, użyj poniższego wzoru:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=16$$
$$b^2=4$$
$$a=4$$
Podstaw $$a^2$$ , $$b^2$$ oraz $$a$$ do wzoru:

$$\frac{\sqrt{16-4}}{4}$$

$$\frac{\sqrt{12}}{4}$$

$$\frac{3,464}{4}$$

$$0,866$$

Mimośródność wynosi $$0,866$$