Wprowadź równanie lub problem

Kamera nie rozpoznaje wprowadzenia!

Rozwiązanie - Rozwiązywanie równań kwadratowych poprzez dopełnianie do kwadratu

Forma dokładna:

r_{1} = \frac{5}{18} + \frac{\sqrt{385}}{18}

r_1=\frac{5}{18}+\frac{\sqrt{385}}{18}

r_{2} = \frac{5}{18} - \frac{\sqrt{385}}{18}

r_2=\frac{5}{18}-\frac{\sqrt{385}}{18}

Forma dziesiętna:

r_{1} = 1, 368

r_1=1,368

r_{2} = - 0, 812

r_2=-0,812

Zobacz kroki

Krok po kroku wyjaśnienie

1. Zidentyfikuj współczynniki

Użyj standardowej formy równania kwadratowego, $a x^{2} + b x + c = 0$ , aby znaleźć współczynniki:

$9 r^{2} - 5 r - 10 = 0$

$a = 9$
$b = - 5$
$c = - 10$

2. Spraw, aby współczynnik a wynosił 1

Ponieważ $a = 9$ , podziel wszystkie współczynniki i stałe po obu stronach równania przez $9$ :

$9 r^{2} - 5 r - 10 = 0$

$\frac{9}{9} r^{2} - 5 \frac{r}{9} - \frac{10}{9} = \frac{0}{9}$

Uporządkuj wyrażenie

$r^{2} - \frac{5}{9} r - \frac{10}{9} = 0$

Współczynniki to:
$a = 1$
$b = - \frac{5}{9}$
$c = - \frac{10}{9}$

3. Przenieś stałą na prawą stronę równania i połącz

Dodaj $\frac{10}{9}$ do obu stron równania:

$r^{2} - \frac{5}{9} r - \frac{10}{9} = 0$

$r^{2} - \frac{5}{9} r - \frac{10}{9} + \frac{10}{9} = 0 + \frac{10}{9}$

$r^{2} - \frac{5}{9} r = \frac{10}{9}$

4. Dokończ kwadrat

Aby lewa strona równania stała się trynomem doskonałym, dodaj nową stałą równą ${(\frac{b}{2})}^{2}$ do równania:

$b = - \frac{5}{9}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{5}{9}}{2})}^{2}$

Stosuj regułę ułamkowego wykładnika ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{5}{9}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{5}{9})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{5}{9})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{25}{81}}{4}$

$\frac{\frac{25}{81}}{4} = \frac{25}{81} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{25}{81} \cdot \frac{1}{4} = \frac{25}{324}$

Dodaj $\frac{25}{324}$ do obu stron równania:

5 dodatkowe steps

$r^{2} - \frac{5}{9} r = \frac{10}{9}$

$r^{2} - \frac{5}{9} r + \frac{25}{324} = \frac{10}{9} + \frac{25}{324}$

Znajdź najmniejszy wspólny mianownik:

$r^{2} - \frac{5}{9} r + \frac{25}{324} = \frac{(10 \cdot 36)}{(9 \cdot 36)} + \frac{25}{324}$

Pomnóż mianowniki:

$r^{2} - \frac{5}{9} r + \frac{25}{324} = \frac{(10 \cdot 36)}{324} + \frac{25}{324}$

Pomnóż liczniki:

$r^{2} - \frac{5}{9} r + \frac{25}{324} = \frac{360}{324} + \frac{25}{324}$

Połącz ułamki:

$r^{2} - \frac{5}{9} r + \frac{25}{324} = \frac{(360 + 25)}{324}$

Połącz liczniki:

$r^{2} - \frac{5}{9} r + \frac{25}{324} = \frac{385}{324}$

Teraz, kiedy mamy doskonały trynom kwadratowy, możemy go zapisać w formie doskonałego kwadratu poprzez dodanie połowy współczynnika $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{5}{9}$

2 dodatkowe steps

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{5}{9}}{2}$

Uprość dzielenie:

$\frac{b}{2} = \frac{- 5}{(9 \cdot 2)}$

Uprość działania arytmetyczne:

$\frac{b}{2} = \frac{- 5}{18}$

$r^{2} - \frac{5}{9} r + \frac{25}{324} = \frac{385}{324}$

${(r - \frac{5}{18})}^{2} = \frac{385}{324}$

5. Rozwiąż dla $x$

Wykonaj pierwiastek kwadratowy z obu stron równania: WAŻNE: Gdy znajdujemy pierwiastek kwadratowy z stałej, otrzymujemy dwa rozwiązania: dodatnie i ujemne

${(r - \frac{5}{18})}^{2} = \frac{385}{324}$

$\sqrt{{(r - \frac{5}{18})}^{2}} = \sqrt{\frac{385}{324}}$

Wyeliminuj kwadrat i pierwiastek kwadratowy po lewej stronie równania:

$r - \frac{5}{18} = \pm \sqrt{\frac{385}{324}}$

Dodaj $\frac{5}{18}$ do obu stron

$r - \frac{5}{18} + \frac{5}{18} = \frac{5}{18} \pm \sqrt{\frac{385}{324}}$

Uprość lewą stronę:

$r = \frac{5}{18} \pm \sqrt{\frac{385}{324}}$

$r = \frac{5}{18} \pm \frac{\sqrt{385}}{\sqrt{324}}$

$r = \frac{5}{18} \pm \frac{\sqrt{385}}{18}$

$r_{1} = \frac{5}{18} + \frac{\sqrt{385}}{18}$
$r_{2} = \frac{5}{18} - \frac{\sqrt{385}}{18}$

Jak nam poszło?

Proszę zostawić nam swoją opinię.

Dlaczego uczyć się tego

W swojej najbardziej podstawowej funkcji, równania kwadratowe definiują takie kształty jak koła, elipsy i parabole. Te kształty mogą z kolei być używane do przewidywania krzywej jaką opisze poruszający się obiekt, taki jak piłka kopnięta przez piłkarza lub wystrzelona z armaty.
Jeśli chodzi o ruch obiektu w przestrzeni, jakie lepsze miejsce do zaczęcia niż przestrzeń kosmiczna, z obiegiem planet wokół słońca w naszym układzie słonecznym. Równanie kwadratowe było używane do ustalenia, że orbity planet są eliptyczne, nie okrągłe. Określenie ścieżki i prędkości, z jaką obiekt przemieszcza się przez przestrzeń, jest możliwe nawet po tym, jak się zatrzymał: równanie kwadratowe może obliczyć, jak szybko pojazd poruszał się, gdy doszło do wypadku. Posiadając takie informacje, przemysł motoryzacyjny może projektować hamulce, aby zapobiec kolizjom w przyszłości. Wiele branż korzysta z równania kwadratowego, aby przewidzieć, a tym samym poprawić żywotność i bezpieczeństwo swoich produktów.

Terminy i tematy

Rozwiązanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu