Wprowadź równanie lub problem

Kamera nie rozpoznaje wprowadzenia!

Rozwiązanie - Rozwiązywanie równań kwadratowych poprzez dopełnianie do kwadratu

Forma dokładna:

x_{1} = - 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}

x_1=-1+\frac{\sqrt{5}}{2}

x_{2} = - 1 - \frac{\sqrt{5}}{2}

x_2=-1-\frac{\sqrt{5}}{2}

Forma dziesiętna:

x_{1} = 0, 118

x_1=0,118

x_{2} = - 2, 118

x_2=-2,118

Zobacz kroki

Krok po kroku wyjaśnienie

1. Przenieś wszystkie wyrażenia na lewą stronę równania

$4 x^{2} - 1 = - 8 x$

Dodaj 8x do obu stron równania:

$4 x^{2} - 1 + 8 x = - 8 x + 8 x$

Uporządkuj wyrażenie

$4 x^{2} + 8 x - 1 = 0$

2. Zidentyfikuj współczynniki

Użyj standardowej formy równania kwadratowego, $a x^{2} + b x + c = 0$ , aby znaleźć współczynniki:

$4 x^{2} + 8 x - 1 = 0$

$a = 4$
$b = 8$
$c = - 1$

3. Spraw, aby współczynnik a wynosił 1

Ponieważ $a = 4$ , podziel wszystkie współczynniki i stałe po obu stronach równania przez $4$ :

$4 x^{2} + 8 x - 1 = 0$

$\frac{4}{4} x^{2} + 8 \frac{x}{4} - \frac{1}{4} = \frac{0}{4}$

Uporządkuj wyrażenie

$x^{2} + 2 x - \frac{1}{4} = 0$

Współczynniki to:
$a = 1$
$b = 2$
$c = - \frac{1}{4}$

4. Przenieś stałą na prawą stronę równania i połącz

Dodaj $\frac{1}{4}$ do obu stron równania:

$x^{2} + 2 x - \frac{1}{4} = 0$

$x^{2} + 2 x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4}$

$x^{2} + 2 x = \frac{1}{4}$

5. Dokończ kwadrat

Aby lewa strona równania stała się trynomem doskonałym, dodaj nową stałą równą ${(\frac{b}{2})}^{2}$ do równania:

$b = 2$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{2}{2})}^{2}$

Stosuj regułę ułamkowego wykładnika ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{2}{2})}^{2} = \frac{2^{2}}{2^{2}}$

$\frac{2^{2}}{2^{2}} = \frac{4}{4}$

$\frac{4}{4} = 1$

Dodaj $1$ do obu stron równania:

3 dodatkowe steps

$x^{2} + 2 x = \frac{1}{4}$

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{1}{4} + 1$

Przekonwertuj liczbę całkowitą na ułamek:

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Połącz ułamki:

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{(1 + 4)}{4}$

Połącz liczniki:

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{5}{4}$

Teraz, kiedy mamy doskonały trynom kwadratowy, możemy go zapisać w formie doskonałego kwadratu poprzez dodanie połowy współczynnika $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = 2$

2 dodatkowe steps

$\frac{b}{2} = \frac{2}{2}$

Znajdź największy wspólny dzielnik licznika i mianownika:

$\frac{b}{2} = \frac{(1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Wyeliminuj największy wspólny dzielnik:

$\frac{b}{2} = 1$

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{5}{4}$

${(x + 1)}^{2} = \frac{5}{4}$

6. Rozwiąż dla $x$

Wykonaj pierwiastek kwadratowy z obu stron równania: WAŻNE: Gdy znajdujemy pierwiastek kwadratowy z stałej, otrzymujemy dwa rozwiązania: dodatnie i ujemne

${(x + 1)}^{2} = \frac{5}{4}$

$\sqrt{{(x + 1)}^{2}} = \sqrt{\frac{5}{4}}$

Wyeliminuj kwadrat i pierwiastek kwadratowy po lewej stronie równania:

$x + 1 = \pm \sqrt{\frac{5}{4}}$

Odejmij $1$ od obu stron

$x + 1 - 1 = - 1 \pm \sqrt{\frac{5}{4}}$

Uprość lewą stronę:

$x = - 1 \pm \sqrt{\frac{5}{4}}$

$x = - 1 \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

$x = - 1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$x_{1} = - 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$
$x_{2} = - 1 - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Jak nam poszło?

Proszę zostawić nam swoją opinię.

Dlaczego uczyć się tego

W swojej najbardziej podstawowej funkcji, równania kwadratowe definiują takie kształty jak koła, elipsy i parabole. Te kształty mogą z kolei być używane do przewidywania krzywej jaką opisze poruszający się obiekt, taki jak piłka kopnięta przez piłkarza lub wystrzelona z armaty.
Jeśli chodzi o ruch obiektu w przestrzeni, jakie lepsze miejsce do zaczęcia niż przestrzeń kosmiczna, z obiegiem planet wokół słońca w naszym układzie słonecznym. Równanie kwadratowe było używane do ustalenia, że orbity planet są eliptyczne, nie okrągłe. Określenie ścieżki i prędkości, z jaką obiekt przemieszcza się przez przestrzeń, jest możliwe nawet po tym, jak się zatrzymał: równanie kwadratowe może obliczyć, jak szybko pojazd poruszał się, gdy doszło do wypadku. Posiadając takie informacje, przemysł motoryzacyjny może projektować hamulce, aby zapobiec kolizjom w przyszłości. Wiele branż korzysta z równania kwadratowego, aby przewidzieć, a tym samym poprawić żywotność i bezpieczeństwo swoich produktów.

Terminy i tematy

Rozwiązanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu