Wprowadź równanie lub problem

Kamera nie rozpoznaje wprowadzenia!

Rozwiązanie - Rozwiązywanie równań kwadratowych poprzez dopełnianie do kwadratu

Forma dokładna:

x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2}

x_1=-\frac{1}{2}+\frac{1\cdot \sqrt{2}}{2}

x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2}

x_2=-\frac{1}{2}-\frac{1\cdot \sqrt{2}}{2}

Forma dziesiętna:

x_{1} = 0, 207

x_1=0,207

x_{2} = - 1, 207

x_2=-1,207

Zobacz kroki

Krok po kroku wyjaśnienie

1. Zidentyfikuj współczynniki

Użyj standardowej formy równania kwadratowego, $a x^{2} + b x + c = 0$ , aby znaleźć współczynniki:

$4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

$a = 4$
$b = 4$
$c = - 1$

2. Spraw, aby współczynnik a wynosił 1

Ponieważ $a = 4$ , podziel wszystkie współczynniki i stałe po obu stronach równania przez $4$ :

$4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

$\frac{4}{4} x^{2} + 4 \frac{x}{4} - \frac{1}{4} = \frac{0}{4}$

Uporządkuj wyrażenie

$x^{2} + 1 x - \frac{1}{4} = 0$

Współczynniki to:
$a = 1$
$b = 1$
$c = - \frac{1}{4}$

3. Przenieś stałą na prawą stronę równania i połącz

Dodaj $\frac{1}{4}$ do obu stron równania:

$x^{2} + 1 x - \frac{1}{4} = 0$

$x^{2} + 1 x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4}$

$x^{2} + 1 x = \frac{1}{4}$

4. Dokończ kwadrat

Aby lewa strona równania stała się trynomem doskonałym, dodaj nową stałą równą ${(\frac{b}{2})}^{2}$ do równania:

$b = 1$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Stosuj regułę ułamkowego wykładnika ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

$\frac{1^{2}}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Dodaj $\frac{1}{4}$ do obu stron równania:

4 dodatkowe steps

$x^{2} + 1 x = \frac{1}{4}$

$x^{2} + 1 x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Połącz ułamki:

$x^{2} + 1 x + \frac{1}{4} = \frac{(1 + 1)}{4}$

Połącz liczniki:

$x^{2} + 1 x + \frac{1}{4} = \frac{2}{4}$

Znajdź największy wspólny dzielnik licznika i mianownika:

$x^{2} + 1 x + \frac{1}{4} = \frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)}$

Wyeliminuj największy wspólny dzielnik:

$x^{2} + 1 x + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Teraz, kiedy mamy doskonały trynom kwadratowy, możemy go zapisać w formie doskonałego kwadratu poprzez dodanie połowy współczynnika $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = 1$

$\frac{b}{2} = \frac{1}{2}$

$x^{2} + 1 x + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$

5. Rozwiąż dla $x$

Wykonaj pierwiastek kwadratowy z obu stron równania: WAŻNE: Gdy znajdujemy pierwiastek kwadratowy z stałej, otrzymujemy dwa rozwiązania: dodatnie i ujemne

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$

$\sqrt{{(x + \frac{1}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Wyeliminuj kwadrat i pierwiastek kwadratowy po lewej stronie równania:

$x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Odejmij $\frac{1}{2}$ od obu stron

$x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Uprość lewą stronę:

$x = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

$x = - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

$x = - \frac{1}{2} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = - \frac{1}{2} \pm \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

$x = - \frac{1}{2} \pm \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2}$

$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2}$
$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2}$

Jak nam poszło?

Proszę zostawić nam swoją opinię.

Dlaczego uczyć się tego

W swojej najbardziej podstawowej funkcji, równania kwadratowe definiują takie kształty jak koła, elipsy i parabole. Te kształty mogą z kolei być używane do przewidywania krzywej jaką opisze poruszający się obiekt, taki jak piłka kopnięta przez piłkarza lub wystrzelona z armaty.
Jeśli chodzi o ruch obiektu w przestrzeni, jakie lepsze miejsce do zaczęcia niż przestrzeń kosmiczna, z obiegiem planet wokół słońca w naszym układzie słonecznym. Równanie kwadratowe było używane do ustalenia, że orbity planet są eliptyczne, nie okrągłe. Określenie ścieżki i prędkości, z jaką obiekt przemieszcza się przez przestrzeń, jest możliwe nawet po tym, jak się zatrzymał: równanie kwadratowe może obliczyć, jak szybko pojazd poruszał się, gdy doszło do wypadku. Posiadając takie informacje, przemysł motoryzacyjny może projektować hamulce, aby zapobiec kolizjom w przyszłości. Wiele branż korzysta z równania kwadratowego, aby przewidzieć, a tym samym poprawić żywotność i bezpieczeństwo swoich produktów.

Terminy i tematy

Rozwiązanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu