Wprowadź równanie lub problem

Kamera nie rozpoznaje wprowadzenia!

Rozwiązanie - Rozwiązywanie równań kwadratowych poprzez dopełnianie do kwadratu

Forma dokładna:

x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}

x_1=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{7}}{3}

x_{2} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}

x_2=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{7}}{3}

Forma dziesiętna:

x_{1} = 1, 549

x_1=1,549

x_{2} = - 0, 215

x_2=-0,215

Zobacz kroki

Krok po kroku wyjaśnienie

1. Zidentyfikuj współczynniki

Użyj standardowej formy równania kwadratowego, $a x^{2} + b x + c = 0$ , aby znaleźć współczynniki:

$3 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

$a = 3$
$b = - 4$
$c = - 1$

2. Spraw, aby współczynnik a wynosił 1

Ponieważ $a = 3$ , podziel wszystkie współczynniki i stałe po obu stronach równania przez $3$ :

$3 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

$\frac{3}{3} x^{2} - 4 \frac{x}{3} - \frac{1}{3} = \frac{0}{3}$

Uporządkuj wyrażenie

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{1}{3} = 0$

Współczynniki to:
$a = 1$
$b = - \frac{4}{3}$
$c = - \frac{1}{3}$

3. Przenieś stałą na prawą stronę równania i połącz

Dodaj $\frac{1}{3}$ do obu stron równania:

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{3}$

$x^{2} - \frac{4}{3} x = \frac{1}{3}$

4. Dokończ kwadrat

Aby lewa strona równania stała się trynomem doskonałym, dodaj nową stałą równą ${(\frac{b}{2})}^{2}$ do równania:

$b = - \frac{4}{3}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{4}{3}}{2})}^{2}$

Stosuj regułę ułamkowego wykładnika ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{4}{3}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{16}{9}}{4}$

$\frac{\frac{16}{9}}{4} = \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{9}$

Dodaj $\frac{4}{9}$ do obu stron równania:

5 dodatkowe steps

$x^{2} - \frac{4}{3} x = \frac{1}{3}$

$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{1}{3} + \frac{4}{9}$

Znajdź najmniejszy wspólny mianownik:

$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{(1 \cdot 3)}{(3 \cdot 3)} + \frac{4}{9}$

Pomnóż mianowniki:

$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{(1 \cdot 3)}{9} + \frac{4}{9}$

Pomnóż liczniki:

$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{3}{9} + \frac{4}{9}$

Połącz ułamki:

$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{(3 + 4)}{9}$

Połącz liczniki:

$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{7}{9}$

Teraz, kiedy mamy doskonały trynom kwadratowy, możemy go zapisać w formie doskonałego kwadratu poprzez dodanie połowy współczynnika $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{4}{3}$

2 dodatkowe steps

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{4}{3}}{2}$

Uprość dzielenie:

$\frac{b}{2} = \frac{- 4}{(3 \cdot 2)}$

Zredukuj wyrazy:

$\frac{b}{2} = \frac{- 2}{3}$

$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{7}{9}$

${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{7}{9}$

5. Rozwiąż dla $x$

Wykonaj pierwiastek kwadratowy z obu stron równania: WAŻNE: Gdy znajdujemy pierwiastek kwadratowy z stałej, otrzymujemy dwa rozwiązania: dodatnie i ujemne

${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{7}{9}$

$\sqrt{{(x - \frac{2}{3})}^{2}} = \sqrt{\frac{7}{9}}$

Wyeliminuj kwadrat i pierwiastek kwadratowy po lewej stronie równania:

$x - \frac{2}{3} = \pm \sqrt{\frac{7}{9}}$

Dodaj $\frac{2}{3}$ do obu stron

$x - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{7}{9}}$

Uprość lewą stronę:

$x = \frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{7}{9}}$

$x = \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}$

$x = \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{7}}{3}$

$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$
$x_{2} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Jak nam poszło?

Proszę zostawić nam swoją opinię.

Dlaczego uczyć się tego

W swojej najbardziej podstawowej funkcji, równania kwadratowe definiują takie kształty jak koła, elipsy i parabole. Te kształty mogą z kolei być używane do przewidywania krzywej jaką opisze poruszający się obiekt, taki jak piłka kopnięta przez piłkarza lub wystrzelona z armaty.
Jeśli chodzi o ruch obiektu w przestrzeni, jakie lepsze miejsce do zaczęcia niż przestrzeń kosmiczna, z obiegiem planet wokół słońca w naszym układzie słonecznym. Równanie kwadratowe było używane do ustalenia, że orbity planet są eliptyczne, nie okrągłe. Określenie ścieżki i prędkości, z jaką obiekt przemieszcza się przez przestrzeń, jest możliwe nawet po tym, jak się zatrzymał: równanie kwadratowe może obliczyć, jak szybko pojazd poruszał się, gdy doszło do wypadku. Posiadając takie informacje, przemysł motoryzacyjny może projektować hamulce, aby zapobiec kolizjom w przyszłości. Wiele branż korzysta z równania kwadratowego, aby przewidzieć, a tym samym poprawić żywotność i bezpieczeństwo swoich produktów.

Terminy i tematy

Rozwiązanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu