Wprowadź równanie lub problem

Kamera nie rozpoznaje wprowadzenia!

Rozwiązanie - Rozwiązywanie równań kwadratowych poprzez dopełnianie do kwadratu

Forma dokładna:

x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}

x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{57}}{6}

x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{57}}{6}

x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{57}}{6}

Forma dziesiętna:

x_{1} = 1, 758

x_1=1,758

x_{2} = - 0, 758

x_2=-0,758

Zobacz kroki

Krok po kroku wyjaśnienie

1. Zidentyfikuj współczynniki

Użyj standardowej formy równania kwadratowego, $a x^{2} + b x + c = 0$ , aby znaleźć współczynniki:

$3 x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$a = 3$
$b = - 3$
$c = - 4$

2. Spraw, aby współczynnik a wynosił 1

Ponieważ $a = 3$ , podziel wszystkie współczynniki i stałe po obu stronach równania przez $3$ :

$3 x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$\frac{3}{3} x^{2} - 3 \frac{x}{3} - \frac{4}{3} = \frac{0}{3}$

Uporządkuj wyrażenie

$x^{2} - 1 x - \frac{4}{3} = 0$

Współczynniki to:
$a = 1$
$b = - 1$
$c = - \frac{4}{3}$

3. Przenieś stałą na prawą stronę równania i połącz

Dodaj $\frac{4}{3}$ do obu stron równania:

$x^{2} - 1 x - \frac{4}{3} = 0$

$x^{2} - 1 x - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0 + \frac{4}{3}$

$x^{2} - 1 x = \frac{4}{3}$

4. Dokończ kwadrat

Aby lewa strona równania stała się trynomem doskonałym, dodaj nową stałą równą ${(\frac{b}{2})}^{2}$ do równania:

$b = - 1$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- 1}{2})}^{2}$

Stosuj regułę ułamkowego wykładnika ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- 1}{2})}^{2} = \frac{- 1^{2}}{2^{2}}$

$\frac{- 1^{2}}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Dodaj $\frac{1}{4}$ do obu stron równania:

5 dodatkowe steps

$x^{2} - 1 x = \frac{4}{3}$

$x^{2} - 1 x + \frac{1}{4} = \frac{4}{3} + \frac{1}{4}$

Znajdź najmniejszy wspólny mianownik:

$x^{2} - 1 x + \frac{1}{4} = \frac{(4 \cdot 4)}{(3 \cdot 4)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(4 \cdot 3)}$

Pomnóż mianowniki:

$x^{2} - 1 x + \frac{1}{4} = \frac{(4 \cdot 4)}{12} + \frac{(1 \cdot 3)}{12}$

Pomnóż liczniki:

$x^{2} - 1 x + \frac{1}{4} = \frac{16}{12} + \frac{3}{12}$

Połącz ułamki:

$x^{2} - 1 x + \frac{1}{4} = \frac{(16 + 3)}{12}$

Połącz liczniki:

$x^{2} - 1 x + \frac{1}{4} = \frac{19}{12}$

Teraz, kiedy mamy doskonały trynom kwadratowy, możemy go zapisać w formie doskonałego kwadratu poprzez dodanie połowy współczynnika $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - 1$

$\frac{b}{2} = \frac{- 1}{2}$

$x^{2} - 1 x + \frac{1}{4} = \frac{19}{12}$

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{19}{12}$

5. Rozwiąż dla $x$

Wykonaj pierwiastek kwadratowy z obu stron równania: WAŻNE: Gdy znajdujemy pierwiastek kwadratowy z stałej, otrzymujemy dwa rozwiązania: dodatnie i ujemne

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{19}{12}$

$\sqrt{{(x - \frac{1}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{19}{12}}$

Wyeliminuj kwadrat i pierwiastek kwadratowy po lewej stronie równania:

$x - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{19}{12}}$

Dodaj $\frac{1}{2}$ do obu stron

$x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{19}{12}}$

Uprość lewą stronę:

$x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{19}{12}}$

$x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{12}}$

$x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{19} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{12}}$

$x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{228}}{12}$

Zapisz czynniki pierwsze:

$x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 19}}{12}$

Zgrupuj czynniki pierwsze w pary i zapisz je w formie wykładników:

$x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3 \cdot 19}}{12}$

Korzystając z reguły $\sqrt{(x^{2})} = x$ , uprość dalej:

$x = \frac{1}{2} \pm \frac{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 19}}{12}$

Wykonaj jakiekolwiek mnożenie lub dzielenie, od lewej do prawej:

$x = \frac{1}{2} \pm \frac{2 \cdot \sqrt{57}}{12}$

Uprość ułamek

$x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{57}}{6}$

$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}$
$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{57}}{6}$

Jak nam poszło?

Proszę zostawić nam swoją opinię.

Dlaczego uczyć się tego

W swojej najbardziej podstawowej funkcji, równania kwadratowe definiują takie kształty jak koła, elipsy i parabole. Te kształty mogą z kolei być używane do przewidywania krzywej jaką opisze poruszający się obiekt, taki jak piłka kopnięta przez piłkarza lub wystrzelona z armaty.
Jeśli chodzi o ruch obiektu w przestrzeni, jakie lepsze miejsce do zaczęcia niż przestrzeń kosmiczna, z obiegiem planet wokół słońca w naszym układzie słonecznym. Równanie kwadratowe było używane do ustalenia, że orbity planet są eliptyczne, nie okrągłe. Określenie ścieżki i prędkości, z jaką obiekt przemieszcza się przez przestrzeń, jest możliwe nawet po tym, jak się zatrzymał: równanie kwadratowe może obliczyć, jak szybko pojazd poruszał się, gdy doszło do wypadku. Posiadając takie informacje, przemysł motoryzacyjny może projektować hamulce, aby zapobiec kolizjom w przyszłości. Wiele branż korzysta z równania kwadratowego, aby przewidzieć, a tym samym poprawić żywotność i bezpieczeństwo swoich produktów.

Terminy i tematy

Rozwiązanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu