Wprowadź równanie lub problem

Kamera nie rozpoznaje wprowadzenia!

Rozwiązanie - Rozwiązywanie równań kwadratowych poprzez dopełnianie do kwadratu

Forma dokładna:

r_{1} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}

r_1=\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{85}}{6}

r_{2} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{85}}{6}

r_2=\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{85}}{6}

Forma dziesiętna:

r_{1} = 1, 703

r_1=1,703

r_{2} = - 1, 37

r_2=-1,37

Zobacz kroki

Krok po kroku wyjaśnienie

1. Zidentyfikuj współczynniki

Użyj standardowej formy równania kwadratowego, $a x^{2} + b x + c = 0$ , aby znaleźć współczynniki:

$3 r^{2} - 1 r - 7 = 0$

$a = 3$
$b = - 1$
$c = - 7$

2. Spraw, aby współczynnik a wynosił 1

Ponieważ $a = 3$ , podziel wszystkie współczynniki i stałe po obu stronach równania przez $3$ :

$3 r^{2} - 1 r - 7 = 0$

$\frac{3}{3} r^{2} - 1 \frac{r}{3} - \frac{7}{3} = \frac{0}{3}$

Uporządkuj wyrażenie

$r^{2} - \frac{1}{3} r - \frac{7}{3} = 0$

Współczynniki to:
$a = 1$
$b = - \frac{1}{3}$
$c = - \frac{7}{3}$

3. Przenieś stałą na prawą stronę równania i połącz

Dodaj $\frac{7}{3}$ do obu stron równania:

$r^{2} - \frac{1}{3} r - \frac{7}{3} = 0$

$r^{2} - \frac{1}{3} r - \frac{7}{3} + \frac{7}{3} = 0 + \frac{7}{3}$

$r^{2} - \frac{1}{3} r = \frac{7}{3}$

4. Dokończ kwadrat

Aby lewa strona równania stała się trynomem doskonałym, dodaj nową stałą równą ${(\frac{b}{2})}^{2}$ do równania:

$b = - \frac{1}{3}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{1}{3}}{2})}^{2}$

Stosuj regułę ułamkowego wykładnika ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{1}{3}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{1}{3})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{1}{9}}{4}$

$\frac{\frac{1}{9}}{4} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{36}$

Dodaj $\frac{1}{36}$ do obu stron równania:

5 dodatkowe steps

$r^{2} - \frac{1}{3} r = \frac{7}{3}$

$r^{2} - \frac{1}{3} r + \frac{1}{36} = \frac{7}{3} + \frac{1}{36}$

Znajdź najmniejszy wspólny mianownik:

$r^{2} - \frac{1}{3} r + \frac{1}{36} = \frac{(7 \cdot 12)}{(3 \cdot 12)} + \frac{1}{36}$

Pomnóż mianowniki:

$r^{2} - \frac{1}{3} r + \frac{1}{36} = \frac{(7 \cdot 12)}{36} + \frac{1}{36}$

Pomnóż liczniki:

$r^{2} - \frac{1}{3} r + \frac{1}{36} = \frac{84}{36} + \frac{1}{36}$

Połącz ułamki:

$r^{2} - \frac{1}{3} r + \frac{1}{36} = \frac{(84 + 1)}{36}$

Połącz liczniki:

$r^{2} - \frac{1}{3} r + \frac{1}{36} = \frac{85}{36}$

Teraz, kiedy mamy doskonały trynom kwadratowy, możemy go zapisać w formie doskonałego kwadratu poprzez dodanie połowy współczynnika $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{1}{3}$

2 dodatkowe steps

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Uprość dzielenie:

$\frac{b}{2} = \frac{- 1}{(3 \cdot 2)}$

Uprość działania arytmetyczne:

$\frac{b}{2} = \frac{- 1}{6}$

$r^{2} - \frac{1}{3} r + \frac{1}{36} = \frac{85}{36}$

${(r - \frac{1}{6})}^{2} = \frac{85}{36}$

5. Rozwiąż dla $x$

Wykonaj pierwiastek kwadratowy z obu stron równania: WAŻNE: Gdy znajdujemy pierwiastek kwadratowy z stałej, otrzymujemy dwa rozwiązania: dodatnie i ujemne

${(r - \frac{1}{6})}^{2} = \frac{85}{36}$

$\sqrt{{(r - \frac{1}{6})}^{2}} = \sqrt{\frac{85}{36}}$

Wyeliminuj kwadrat i pierwiastek kwadratowy po lewej stronie równania:

$r - \frac{1}{6} = \pm \sqrt{\frac{85}{36}}$

Dodaj $\frac{1}{6}$ do obu stron

$r - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \pm \sqrt{\frac{85}{36}}$

Uprość lewą stronę:

$r = \frac{1}{6} \pm \sqrt{\frac{85}{36}}$

$r = \frac{1}{6} \pm \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{36}}$

$r = \frac{1}{6} \pm \frac{\sqrt{85}}{6}$

$r_{1} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}$
$r_{2} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{85}}{6}$

Jak nam poszło?

Proszę zostawić nam swoją opinię.

Dlaczego uczyć się tego

W swojej najbardziej podstawowej funkcji, równania kwadratowe definiują takie kształty jak koła, elipsy i parabole. Te kształty mogą z kolei być używane do przewidywania krzywej jaką opisze poruszający się obiekt, taki jak piłka kopnięta przez piłkarza lub wystrzelona z armaty.
Jeśli chodzi o ruch obiektu w przestrzeni, jakie lepsze miejsce do zaczęcia niż przestrzeń kosmiczna, z obiegiem planet wokół słońca w naszym układzie słonecznym. Równanie kwadratowe było używane do ustalenia, że orbity planet są eliptyczne, nie okrągłe. Określenie ścieżki i prędkości, z jaką obiekt przemieszcza się przez przestrzeń, jest możliwe nawet po tym, jak się zatrzymał: równanie kwadratowe może obliczyć, jak szybko pojazd poruszał się, gdy doszło do wypadku. Posiadając takie informacje, przemysł motoryzacyjny może projektować hamulce, aby zapobiec kolizjom w przyszłości. Wiele branż korzysta z równania kwadratowego, aby przewidzieć, a tym samym poprawić żywotność i bezpieczeństwo swoich produktów.

Terminy i tematy

Rozwiązanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu