Wprowadź równanie lub problem

Kamera nie rozpoznaje wprowadzenia!

Rozwiązanie - Rozwiązywanie równań kwadratowych poprzez dopełnianie do kwadratu

Forma dokładna:

y_{1} = \frac{21}{4} + \frac{\sqrt{833}}{4}

y_1=\frac{21}{4}+\frac{\sqrt{833}}{4}

y_{2} = \frac{21}{4} - \frac{\sqrt{833}}{4}

y_2=\frac{21}{4}-\frac{\sqrt{833}}{4}

Forma dziesiętna:

y_{1} = 12, 465

y_1=12,465

y_{2} = - 1, 965

y_2=-1,965

Zobacz kroki

Krok po kroku wyjaśnienie

1. Zidentyfikuj współczynniki

Użyj standardowej formy równania kwadratowego, $a x^{2} + b x + c = 0$ , aby znaleźć współczynniki:

$2 y^{2} - 21 y - 49 = 0$

$a = 2$
$b = - 21$
$c = - 49$

2. Spraw, aby współczynnik a wynosił 1

Ponieważ $a = 2$ , podziel wszystkie współczynniki i stałe po obu stronach równania przez $2$ :

$2 y^{2} - 21 y - 49 = 0$

$\frac{2}{2} y^{2} - 21 \frac{y}{2} - \frac{49}{2} = \frac{0}{2}$

Uporządkuj wyrażenie

$y^{2} - \frac{21}{2} y - \frac{49}{2} = 0$

Współczynniki to:
$a = 1$
$b = - \frac{21}{2}$
$c = - \frac{49}{2}$

3. Przenieś stałą na prawą stronę równania i połącz

Dodaj $\frac{49}{2}$ do obu stron równania:

$y^{2} - \frac{21}{2} y - \frac{49}{2} = 0$

$y^{2} - \frac{21}{2} y - \frac{49}{2} + \frac{49}{2} = 0 + \frac{49}{2}$

$y^{2} - \frac{21}{2} y = \frac{49}{2}$

4. Dokończ kwadrat

Aby lewa strona równania stała się trynomem doskonałym, dodaj nową stałą równą ${(\frac{b}{2})}^{2}$ do równania:

$b = - \frac{21}{2}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{21}{2}}{2})}^{2}$

Stosuj regułę ułamkowego wykładnika ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{21}{2}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{21}{2})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{21}{2})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{441}{4}}{4}$

$\frac{\frac{441}{4}}{4} = \frac{441}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{441}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{441}{16}$

Dodaj $\frac{441}{16}$ do obu stron równania:

5 dodatkowe steps

$y^{2} - \frac{21}{2} y = \frac{49}{2}$

$y^{2} - \frac{21}{2} y + \frac{441}{16} = \frac{49}{2} + \frac{441}{16}$

Znajdź najmniejszy wspólny mianownik:

$y^{2} - \frac{21}{2} y + \frac{441}{16} = \frac{(49 \cdot 8)}{(2 \cdot 8)} + \frac{441}{16}$

Pomnóż mianowniki:

$y^{2} - \frac{21}{2} y + \frac{441}{16} = \frac{(49 \cdot 8)}{16} + \frac{441}{16}$

Pomnóż liczniki:

$y^{2} - \frac{21}{2} y + \frac{441}{16} = \frac{392}{16} + \frac{441}{16}$

Połącz ułamki:

$y^{2} - \frac{21}{2} y + \frac{441}{16} = \frac{(392 + 441)}{16}$

Połącz liczniki:

$y^{2} - \frac{21}{2} y + \frac{441}{16} = \frac{833}{16}$

Teraz, kiedy mamy doskonały trynom kwadratowy, możemy go zapisać w formie doskonałego kwadratu poprzez dodanie połowy współczynnika $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{21}{2}$

2 dodatkowe steps

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{21}{2}}{2}$

Uprość dzielenie:

$\frac{b}{2} = \frac{- 21}{(2 \cdot 2)}$

Uprość działania arytmetyczne:

$\frac{b}{2} = \frac{- 21}{4}$

$y^{2} - \frac{21}{2} y + \frac{441}{16} = \frac{833}{16}$

${(y - \frac{21}{4})}^{2} = \frac{833}{16}$

5. Rozwiąż dla $x$

Wykonaj pierwiastek kwadratowy z obu stron równania: WAŻNE: Gdy znajdujemy pierwiastek kwadratowy z stałej, otrzymujemy dwa rozwiązania: dodatnie i ujemne

${(y - \frac{21}{4})}^{2} = \frac{833}{16}$

$\sqrt{{(y - \frac{21}{4})}^{2}} = \sqrt{\frac{833}{16}}$

Wyeliminuj kwadrat i pierwiastek kwadratowy po lewej stronie równania:

$y - \frac{21}{4} = \pm \sqrt{\frac{833}{16}}$

Dodaj $\frac{21}{4}$ do obu stron

$y - \frac{21}{4} + \frac{21}{4} = \frac{21}{4} \pm \sqrt{\frac{833}{16}}$

Uprość lewą stronę:

$y = \frac{21}{4} \pm \sqrt{\frac{833}{16}}$

$y = \frac{21}{4} \pm \frac{\sqrt{833}}{\sqrt{16}}$

$y = \frac{21}{4} \pm \frac{\sqrt{833}}{4}$

$y_{1} = \frac{21}{4} + \frac{\sqrt{833}}{4}$
$y_{2} = \frac{21}{4} - \frac{\sqrt{833}}{4}$

Jak nam poszło?

Proszę zostawić nam swoją opinię.

Dlaczego uczyć się tego

W swojej najbardziej podstawowej funkcji, równania kwadratowe definiują takie kształty jak koła, elipsy i parabole. Te kształty mogą z kolei być używane do przewidywania krzywej jaką opisze poruszający się obiekt, taki jak piłka kopnięta przez piłkarza lub wystrzelona z armaty.
Jeśli chodzi o ruch obiektu w przestrzeni, jakie lepsze miejsce do zaczęcia niż przestrzeń kosmiczna, z obiegiem planet wokół słońca w naszym układzie słonecznym. Równanie kwadratowe było używane do ustalenia, że orbity planet są eliptyczne, nie okrągłe. Określenie ścieżki i prędkości, z jaką obiekt przemieszcza się przez przestrzeń, jest możliwe nawet po tym, jak się zatrzymał: równanie kwadratowe może obliczyć, jak szybko pojazd poruszał się, gdy doszło do wypadku. Posiadając takie informacje, przemysł motoryzacyjny może projektować hamulce, aby zapobiec kolizjom w przyszłości. Wiele branż korzysta z równania kwadratowego, aby przewidzieć, a tym samym poprawić żywotność i bezpieczeństwo swoich produktów.

Terminy i tematy

Rozwiązanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu