Wprowadź równanie lub problem

Kamera nie rozpoznaje wprowadzenia!

Rozwiązanie - Rozwiązywanie równań kwadratowych poprzez dopełnianie do kwadratu

Forma dokładna:

x_{1} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}

x_1=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}

x_{2} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}

x_2=\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}

Forma dziesiętna:

x_{1} = 1, 781

x_1=1,781

x_{2} = - 0, 281

x_2=-0,281

Zobacz kroki

Krok po kroku wyjaśnienie

1. Zidentyfikuj współczynniki

Użyj standardowej formy równania kwadratowego, $a x^{2} + b x + c = 0$ , aby znaleźć współczynniki:

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

$a = 2$
$b = - 3$
$c = - 1$

2. Spraw, aby współczynnik a wynosił 1

Ponieważ $a = 2$ , podziel wszystkie współczynniki i stałe po obu stronach równania przez $2$ :

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

$\frac{2}{2} x^{2} - 3 \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = \frac{0}{2}$

Uporządkuj wyrażenie

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} = 0$

Współczynniki to:
$a = 1$
$b = - \frac{3}{2}$
$c = - \frac{1}{2}$

3. Przenieś stałą na prawą stronę równania i połącz

Dodaj $\frac{1}{2}$ do obu stron równania:

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} = 0$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{2}$

$x^{2} - \frac{3}{2} x = \frac{1}{2}$

4. Dokończ kwadrat

Aby lewa strona równania stała się trynomem doskonałym, dodaj nową stałą równą ${(\frac{b}{2})}^{2}$ do równania:

$b = - \frac{3}{2}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{3}{2}}{2})}^{2}$

Stosuj regułę ułamkowego wykładnika ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{3}{2}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{9}{4}}{4}$

$\frac{\frac{9}{4}}{4} = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{16}$

Dodaj $\frac{9}{16}$ do obu stron równania:

5 dodatkowe steps

$x^{2} - \frac{3}{2} x = \frac{1}{2}$

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$

Znajdź najmniejszy wspólny mianownik:

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{(1 \cdot 8)}{(2 \cdot 8)} + \frac{9}{16}$

Pomnóż mianowniki:

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{(1 \cdot 8)}{16} + \frac{9}{16}$

Pomnóż liczniki:

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{8}{16} + \frac{9}{16}$

Połącz ułamki:

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{(8 + 9)}{16}$

Połącz liczniki:

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{17}{16}$

Teraz, kiedy mamy doskonały trynom kwadratowy, możemy go zapisać w formie doskonałego kwadratu poprzez dodanie połowy współczynnika $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{3}{2}$

2 dodatkowe steps

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Uprość dzielenie:

$\frac{b}{2} = \frac{- 3}{(2 \cdot 2)}$

Uprość działania arytmetyczne:

$\frac{b}{2} = \frac{- 3}{4}$

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{17}{16}$

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{17}{16}$

5. Rozwiąż dla $x$

Wykonaj pierwiastek kwadratowy z obu stron równania: WAŻNE: Gdy znajdujemy pierwiastek kwadratowy z stałej, otrzymujemy dwa rozwiązania: dodatnie i ujemne

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{17}{16}$

$\sqrt{{(x - \frac{3}{4})}^{2}} = \sqrt{\frac{17}{16}}$

Wyeliminuj kwadrat i pierwiastek kwadratowy po lewej stronie równania:

$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{17}{16}}$

Dodaj $\frac{3}{4}$ do obu stron

$x - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{17}{16}}$

Uprość lewą stronę:

$x = \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{17}{16}}$

$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{16}}$

$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$

$x_{1} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$
$x_{2} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}$

Jak nam poszło?

Proszę zostawić nam swoją opinię.

Dlaczego uczyć się tego

W swojej najbardziej podstawowej funkcji, równania kwadratowe definiują takie kształty jak koła, elipsy i parabole. Te kształty mogą z kolei być używane do przewidywania krzywej jaką opisze poruszający się obiekt, taki jak piłka kopnięta przez piłkarza lub wystrzelona z armaty.
Jeśli chodzi o ruch obiektu w przestrzeni, jakie lepsze miejsce do zaczęcia niż przestrzeń kosmiczna, z obiegiem planet wokół słońca w naszym układzie słonecznym. Równanie kwadratowe było używane do ustalenia, że orbity planet są eliptyczne, nie okrągłe. Określenie ścieżki i prędkości, z jaką obiekt przemieszcza się przez przestrzeń, jest możliwe nawet po tym, jak się zatrzymał: równanie kwadratowe może obliczyć, jak szybko pojazd poruszał się, gdy doszło do wypadku. Posiadając takie informacje, przemysł motoryzacyjny może projektować hamulce, aby zapobiec kolizjom w przyszłości. Wiele branż korzysta z równania kwadratowego, aby przewidzieć, a tym samym poprawić żywotność i bezpieczeństwo swoich produktów.

Terminy i tematy

Rozwiązanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu