Wprowadź równanie lub problem

Kamera nie rozpoznaje wprowadzenia!

Rozwiązanie - Ciągi geometryczne

Ilorazem ciągu jest:

r = 3

r=3

Sumą tego ciągu jest:

s = 605

s=605

Ogólną formą tego ciągu jest:

a_{n} = 5 \cdot 3^{n - 1}

a_n=5*3^(n-1)

n-tym wyrazem tego ciągu jest:

5, 15, 45, 135, 405, 1215, 3645, 10935, 32805, 98415

5,15,45,135,405,1215,3645,10935,32805,98415

Zobacz kroki

Krok po kroku wyjaśnienie

1. Znajdź iloraz

Znajdź iloraz, dzieląc jakikolwiek wyraz ciągu przez poprzedni wyraz:

$a_{2} a_{1} = \frac{15}{5} = 3$

$a_{3} a_{2} = \frac{45}{15} = 3$

$a_{4} a_{3} = \frac{135}{45} = 3$

$a_{5} a_{4} = \frac{405}{135} = 3$

Stały iloraz ( $r$ ) sekwencji jest równy ilorazowi dwóch kolejnych wyrazów.
$r = 3$

2. Znajdź sumę

5 dodatkowe steps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Aby znaleźć sumę tego ciągu, wstaw pierwszy wyraz: $a = 5$ , iloraz: $r = 3$ oraz liczbę elementów $n = 5$ do wzoru na sumę ciągu geometrycznego:

$s_{5} = 5 * ((1 - 3^{5}) / (1 - 3))$

$s_{5} = 5 * ((1 - 243) / (1 - 3))$

$s_{5} = 5 * (- 242 / (1 - 3))$

$s_{5} = 5 * (- 242 / - 2)$

$s_{5} = 5 \cdot 121$

$s_{5} = 605$

3. Znajdź postać ogólną

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Aby znaleźć ogólną formę ciągu, wstaw pierwszy wyraz: $a = 5$ oraz iloraz: $r = 3$ do wzoru na ciąg geometryczny:

$a_{n} = 5 \cdot 3^{n - 1}$

4. Znajdź n-ty wyraz

Użyj ogólnej formy do znalezienia n-tego wyrazu

$a_{1} = 5$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 3^{2 - 1} = 5 \cdot 3^{1} = 5 \cdot 3 = 15$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 3^{3 - 1} = 5 \cdot 3^{2} = 5 \cdot 9 = 45$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 3^{4 - 1} = 5 \cdot 3^{3} = 5 \cdot 27 = 135$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 3^{5 - 1} = 5 \cdot 3^{4} = 5 \cdot 81 = 405$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 3^{6 - 1} = 5 \cdot 3^{5} = 5 \cdot 243 = 1215$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 3^{7 - 1} = 5 \cdot 3^{6} = 5 \cdot 729 = 3645$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 3^{8 - 1} = 5 \cdot 3^{7} = 5 \cdot 2187 = 10935$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 3^{9 - 1} = 5 \cdot 3^{8} = 5 \cdot 6561 = 32805$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 3^{10 - 1} = 5 \cdot 3^{9} = 5 \cdot 19683 = 98415$

Jak nam poszło?

Proszę zostawić nam swoją opinię.

Dlaczego uczyć się tego

Ciągi geometryczne są powszechnie używane do wyjaśniania koncepcji w matematyce, fizyce, inżynierii, biologii, ekonomii, informatyce, finansach i innych dziedzinach, co czyni je bardzo użytecznym narzędziem w naszych zestawach narzędzi. Jednym z najczęstszych zastosowań ciągów geometrycznych jest na przykład obliczanie wypracowanych lub niespłaconych odsetek złożonych, aktivność najczęściej kojarzona z finansami, która może oznaczać zarobek lub utratę dużych sum pieniędzy! Inne zastosowania obejmują, ale zdecydowanie nie ograniczają się do, obliczania prawdopodobieństwa, mierzenia radioaktywności z czasem i projektowania budynków.

Terminy i tematy

Ciągi geometryczne