Voer een vergelijking of opgave in

Camerainvoer wordt niet herkend!

Oplossing - Properties van ellipses

Eindresultaat Stappen Begrippen en onderwerpen

vergelijking in standaard form

\frac{x^{2}}{\frac{2024}{19}} + \frac{y^{2}}{\frac{506}{7}} = 1

\frac{x^2}{\frac{2024}{19}}+\frac{y^2}{\frac{506}{7}}=1

Middelpunt

(0, 0)

(0, 0)

Radius van de major axis

10, 321

10,321

Top_1

(10.321, 0)

(10.321, 0)

Top_2

(- 10.321, 0)

(-10.321, 0)

Radius van de miNeer axis

8, 502

8,502

Neventop_1

(0, 8.502)

(0, 8.502)

Neventop_2

(0, - 8.502)

(0, -8.502)

Brandpuntsafstand

5, 852

5,852

Brandpunt_1

(5.852, 0)

(5.852, 0)

Brandpunt_2

(- 5.852, 0)

(-5.852, 0)

Oppervlakte

87, 749 π

87,749π

x-snijpunten

(10.321, 0), (- 10.321, 0)

(10.321, 0), (-10.321, 0)

y-snijpunten

(0, 8.502), (0, - 8.502)

(0, 8.502), (0, -8.502)

Eccentriciteit

0, 567

0,567

Bekijk stappen Learn more met Tiger Try deze:

Stapsgewijze uitleg

1. Vind de standaard form

Naar vind de standaard form van een ellipse, make de right side van de vergelijking equal naar $1$ :

$19 x^{2} + 28 y^{2} = 2024$

Divide both sides door 2.024

$\frac{19 x^{2}}{2024} + \frac{28 y^{2}}{2024} = \frac{2024}{2024}$

Vereenvoudig de uitdrukking

$\frac{19}{2024} x^{2} + \frac{7}{506} y^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{\frac{2024}{19}} + \frac{y^{2}}{\frac{506}{7}} = 1$

Because de deNeeminator van x $(_{T} O K 0_{})$ is bigger than de deNeeminator van y $(_{T} O K 1_{})$ , het represents de major axis $(_{T} O K 2_{} = a^{2})$ , making deze een horizontal ellipse vergelijking:
$_{T} O K 3_{}$

2. Vind de center

$h$ represents de x-offset van de origin.
$k$ represents de y-offset van de origin.
Naar vind de waarden van $h$ en $k$ , use de horizontal ellipse standaard form:
${[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}_{T} O K 0_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$

$\frac{x^{2}}{\frac{2024}{19}} + \frac{y^{2}}{\frac{506}{7}} = 1$
$h =_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]} T O K 2_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$
$k =_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]} T O K 3_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$
Center: $({[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}_{T} O K 4_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]},_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]} T O K 5_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]})$

3. Vind de radius van de major axis

$a$ represents de longer radius van de ellipse, which is equal naar half van de major axis. Deze is called de semi-major axis.
Naar vind de waarde van $a$ , use de horizontal ellipse standaard form:
${[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}_{T} O K 0_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$

$\frac{x^{2}}{\frac{2024}{19}} + \frac{y^{2}}{\frac{506}{7}} = 1$
$a^{2} =_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]} T O K 2_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$
Take de square wortel van both sides van de vergelijking:
$a =_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]} T O K 3_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$

Because $a$ represents een distance, het only has een positive waarde.

4. Vind de vertices

In een horizontal ellipse, de major axis runs parallel naar de x-axis en passes through de ellipse's vertices. Vind de vertices door adding en subtracting $a$ van de x-coordinate $(h)$ van de center.

Naar vind vertex_1, add $a$ naar de x-coordinate $(h)$ van de center:
Vertex_1: $(h + a, k)$
Center: $(h, k) = (_{T} O K 0_{},_{} T O K 1_{})$
$h =_{} T O K 2_{}$
$k =_{} T O K 3_{}$
$a =_{} T O K 4_{}$
Vertex_1: $(_{T} O K 5_{} +_{} T O K 6_{},_{} T O K 7_{})$
Vertex_1: $_{T} O K 8_{}$

Naar vind vertex_2, subtract $a$ van de x-coordinate ( $h$ ) van de center:
Vertex_2: $(h - a, k)$
Center: $(h, k) = (_{T} O K 0_{},_{} T O K 1_{})$
$h =_{} T O K 2_{}$
$k =_{} T O K 3_{}$
$a =_{} T O K 4_{}$
Vertex_2: $(_{T} O K 5_{} -_{} T O K 6_{},_{} T O K 7_{})$
Vertex_2: $_{T} O K 8_{}$

5. Vind de radius van de miNeer axis

$b$ represents de shorter radius van de ellipse, which is equal naar half van de miNeer axis. Deze is called de semi-miNeer axis.
Naar vind de waarde van $b$ , use de horizontal ellipse standaard form:
${[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}_{T} O K 0_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$

$\frac{x^{2}}{\frac{2024}{19}} + \frac{y^{2}}{\frac{506}{7}} = 1$
$b^{2} =_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]} T O K 2_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$
Take de square wortel van both sides van de vergelijking:
$b =_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]} T O K 3_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$
Because b represents een distance, het only has een positive waarde.

6. Vind de co-vertices

In een horizontal ellipse, de miNeer axis runs parallel naar de y-axis en passes through de ellipse's co-vertices.
Vind de co-vertices door adding en subtracting $b$ van de y-coordinate $(k)$ van de center.

Naar vind co-vertex_1, add $b$ naar de y coordinate $(k)$ van de center:
Co-vertex_1: $(h, k + b)$
Center: $(h, k) =_{} T O K 0_{}$
$h =_{} T O K 1_{}$
$k =_{} T O K 2_{}$
$b =_{} T O K 3_{}$
Co-vertex_1: $(_{T} O K 4_{},_{} T O K 5_{} +_{} T O K 6_{})$
Co-vertex_1: $_{T} O K 7_{}$

Naar vind co-vertex_2, subtract $b$ van de y-coordinate $(k)$ van de center:
Co-vertex_2: $(h, k - b)$
Center: $(h, k) =_{} T O K 0_{}$
$h =_{} T O K 1_{}$
$k =_{} T O K 2_{}$
$b =_{} T O K 3_{}$
Co-vertex_2: $(_{T} O K 4_{},_{} T O K 5_{} -_{} T O K 6_{})$
Co-vertex_2: $_{T} O K 7_{}$

7. Vind de focal length

Focal length is de distance van de ellipse's center naar each focal point en is usually represented door $f$ .

Naar vind $f$ , use de formule:
$_{T} O K 0_{}$
$a^{2} =_{} T O K 1_{}$
$b^{2} =_{} T O K 2_{}$
Plug $a^{2}$ en $b^{2}$ in de formule en vereenvoudig:

$f = \sqrt{\frac{2024}{19} - \frac{506}{7}}$

$f = \sqrt{\frac{4554}{133}}$

$f = 5, 852$

Because $f$ represents een distance, het only has een positive waarde.

8. Vind de foci

In een horizontal ellipse, de major axis runs parallel naar de x-axis en through de foci.
Vind de foci door adding en subtracting $f$ van de x-coordinate $(h)$ van de center.

Naar vind focus_1, add $f$ naar de x-coordinate $(h)$ van de center:
Focus_1: $(h + f, k)$
Center: $(h, k) =_{} T O K 0_{}$
$h =_{} T O K 1_{}$
$k =_{} T O K 2_{}$
$f =_{} T O K 3_{}$
Focus_1: $(_{T} O K 4_{} +_{} T O K 5_{},_{} T O K 6_{})$
Focus_1: $_{T} O K 7_{}$

Naar vind focus_2, subtract $f$ van de x-coordinate $(h)$ van de center:
Focus_2: $(h - f, k)$
Center: $(h, k) =_{} T O K 0_{}$
$h =_{} T O K 1_{}$
$k =_{} T O K 2_{}$
$f =_{} T O K 3_{}$
Focus_2: $(_{T} O K 4_{} -_{} T O K 5_{},_{} T O K 6_{})$
Focus_2: $_{T} O K 7_{}$

9. Vind de area

Use de formule voor de area van een ellipse naar vind de ellipse's area:
$π [PARSE ERROR: NewLine] c d o t a [PARSE ERROR: NewLine] c d o t b$
$a =_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]} T O K 0_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$
$b =_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]} T O K 1_{[PARSE ERROR: Undefined("Underscore")]}$
Plug $a$ en $b$ in de formule en vereenvoudig:

$π \cdot 10, 321 \cdot 8, 502$

$π \cdot 87, 749$

De area equals $_{T} O K 0_{}$

10. Vind de x en y-intercepts

Naar vind de x-intercept(s), plug $0$ in voor $_{T} O K 1_{}$ in de ellipse's standaard vergelijking en Los op de resulting kwadratische vergelijking voor $_{T} O K 2_{}$ .
Click here voor een Stap voor stap uitleg van de kwadratische vergelijking.

$\frac{x^{2}}{\frac{2024}{19}} + \frac{y^{2}}{\frac{506}{7}} = 1$

$\frac{x^{2}}{\frac{2024}{19}} + \frac{0^{2}}{\frac{506}{7}} = 1$

$x_{1} = 10, 321$

$x_{2} = - 10, 321$

Naar vind de y-intercept(s), plug $0$ in voor $_{T} O K 1_{}$ in de ellipse's standaard vergelijking en Los op de resulting kwadratische vergelijking voor $_{T} O K 2_{}$ .
Click here voor een Stap voor stap uitleg van de kwadratische vergelijking.

$\frac{x^{2}}{\frac{2024}{19}} + \frac{y^{2}}{\frac{506}{7}} = 1$

$\frac{0^{2}}{\frac{2024}{19}} + \frac{y^{2}}{\frac{506}{7}} = 1$

$y_{1} = 8, 502$

$y_{2} = - 8, 502$

11. Vind de eccentricity

Naar vind de eccentricity use de formule:
$_{T} O K 0_{}$
$a^{2} =_{} T O K 1_{}$
$b^{2} =_{} T O K 2_{}$
$a =_{} T O K 3_{}$
Plug $a^{2}$ , $b^{2}$ en $a$ in de formule:

$\frac{\sqrt{\frac{2024}{19} - \frac{506}{7}}}{10, 321}$

$\frac{\sqrt{\frac{4554}{133}}}{10, 321}$

$\frac{5, 852}{10, 321}$

$0, 567$

De eccentricity equals $_{T} O K 0_{}$

12. Grafiek

Was deze uitleg nuttig?

Ja Nee

Hoe did wij do?

Laat ons alsjeblieft feedback achter.

Waarom dit leren

Learn more met Tiger

Als je cut een carrot in half across its grain (like deze: =|> ) de resulting cross-section would zijn circular en, therefore, somewhat easy naar measure. But what als je cut de same carrot across de grain bij een angle (like deze: =/> )? De resulting shape would zijn more van een ellipse en measuring het would prove naar zijn een bit more difficult than measuring een plain old cirkel. But waarom would je need naar measure de cross section van een carrot naar begin met?
Well... je probably would Neet, but such occurrences van ellipses in nature zijn actually quite common, en understanding them van een mathematical perspective can zijn useful in many different contexts. Fields such as art, design, architecture, engineering, en astroNeemy alle rely bij times op ellipses - van painting portraits, naar building homes, naar measuring de orbit van moons, planets, en comets.

Begrippen en onderwerpen

Properties van ellipses

Oplossing - Properties van ellipses

Stapsgewijze uitleg

1. Vind de standaard form

2. Vind de center

3. Vind de radius van de major axis

4. Vind de vertices

5. Vind de radius van de miNeer axis

6. Vind de co-vertices

7. Vind de focal length

8. Vind de foci

9. Vind de area

10. Vind de x en y-intercepts

11. Vind de eccentricity

12. Grafiek

Waarom dit leren

Begrippen en onderwerpen

Gerelateerde links

Recent opgeloste vergelijkbare opgaven