व्याघ्र बीजगणित कॅल्क्युलेटर

रेखीय समीकरणे
रेखीय समीकरण म्हणजे अशी समीकरण जी एक सरळ रेषा दर्शवते. ती बरव तिलमुळे म्हणजेच स्थिरांके आणि चरांचा उपस्थित असते, किंवा कोणतेही चर उत्तरांक अथवा मूळ सहित असू शकत नाही, आणि ती सामान्यतः खालीलप्रमाणे लिहिली जाते:

बिंदु-ढलांव आकृती
$$y-y_1=m\left(x-x_1\right)$$
उदाहरणार्थ: $$y-9=2\left(x-5\right)$$

ढलांव-तोंड आकृती
$$y=mx+b$$
उदाहरणार्थ: $$y=2x-1$$

मानक आकृती
$$ax+by+c=0$$
उदाहरणार्थ: $$-2x+y+1=0$$
महत्त्वाचे: या आक्रुतीत $$a$$ आणि $$b$$ एकत्र शून्य असू शकत नाहीत ($$a^2+b^2\ne 0$$).

आपल्या आमच्या समीकरणांच्या वेगवेगळ्या आकृतीत असावी ती वाटते, प्रत्येकती संसाधीत दर्शवलेली रेषा एकच असते. जर तुमच्याकडे ग्राफत्त्व गणक असेल, तर प्रत्येक समीकरण चित्रित करा आणि परिणाम तुलशीत करा. प्रत्येक ग्राफ एकच असेल!

रेखीय समीकरणांची प्रणाली
कधीकधी आपल्याकडे दोन अथवा अधिक समीकरण असतात जे एका आणतच्या चर किंवा चरांनी सत्य केलं जाऊ शकते.
उदाहरणार्थ:
$$2x-4y-10=0$$
$$5x+3y=12$$
$$x=3$$ आणि $$y=-1$$ असताना, दोन्ही समीकरणे सत्य आहेत.

या म्हणजेच रेखीय समीकरणांचे प्रणाली आहेत आणि आपण त्यांच्या चर(वर्णी) एकावेळी दोन मैत्रीणी संपावडी आणि बदली किंवा दोन्ही मेथड वापरुन शोधू शकता.

संपावडीने मिळवणे
रेखीय समीकरणांची प्रणाली संपावडीने मिळवण्याची मुख्य पायरी:

1. समीकरण पुनर्लेखन करा जेणेकरुन चर एकत्र असेल:
$$2x-4y-10=0$$
$$5x+3y=12$$
थकबाकी
$$2x-4y-10=0$$
$$5x+3y-12=0$$

2. चरांपैकी एकाच रकमाच्या अभाव उपस्थित करणारा, जो एकत्रीत किंवा वगळलं तर एकादिवशी घेतलेल्या एका किंवा दोन्ही समीकरणांला अ-शून्य संख्यांनी गुणकीत करा:
$$3\left(2x-4y-10=0\right)$$
$$4\left(5x+3y-12=0\right)$$
थकबाकी
$$6x-12y-30=0$$
$$20x+12y-48=0$$

3. समीकरणांची ऐक्य अथवा वगळणी करा जेणेकरून त्यांचा सामान्य चर(चरे) नष्ट करा:
$(6x-12y-30)$
+ (20x+12y-48)
= 26x-78=0


4. समीकरण शोधा जेणेकरून उरत्या चर कोणत्याही ॠतू वेगळा करा:
$$26x-78=0$$
$$26x=78$$
$$x=3$$

5. ह्या चराची एकादिवशी मूळ समीकरणांत घाला आणि बाकी असलेली चर वेगळी करण्या साठी सोपी करा:
$$2\left(3\right)-4y-10=0$$
$$6-4y-10=0$$
$$-4y-4=0$$
$$-4y=4$$
$$y=-1$$

दोन्ही समीकरणांमध्ये एकत्र आणली जाणारी चर असतील $$x=3$$ आणि $$y=-1$$ किंवा $$\left(3,-1\right)$$

6. गरज असल्यास पुनरावृत्ती करा, तसेच, जेव्हा प्रणालीत दोन पेक्षा अधिक रेखीय समीकरण असतील.

बदलीने मिळवणे
रेखीय समीकरणांची प्रणाली बदलीने मिळवण्याची मुख्य पायरी:

1. एका समीकरणातल्या एका चराला वेगळा केलेला शोधा:
$$2x-4y-10=0$$
$$2x=4y+10$$
$$x=2y+5$$

2. उत्पन्न चराची इतर समीकरणांमध्ये घाला आणि मिळवा:
$$5\left(2y+5\right)+3y=12$$
$$10y+25+3y=12$$
$$13y=-13$$
$$y=-1$$

3. उत्पन्न चराची एकादिवशी मूळ समीकरणांमध्ये घाला आणि मिळवा:
$$2x-4\left(-1\right)-10=0$$
$$2x+4-10=0$$
$$2x-6=0$$
$$2x=6$$
$$x=3$$

दोन्ही समीकरणांमध्ये एकत्र आणली जाणारी चर असतील $$x=3$$ आणि $$y=-1$$ किंवा $$\left(3,-1\right)$$

4. गरज असल्यास पुनरावृत्ती करा, तसेच, जेव्हा प्रणालीत दोन पेक्षा अधिक रेखीय समीकरण असतील.

रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीला लागतील तीन संभाव्य समाधान संगठन:

नाही समाधान : प्रणालीतील सर्व समीकरणांस सत्य करण्यासाठी कोणतेही चर नाही. ग्राफ वर, समीकरण दर्शविलेल्या रेषा एकमेकांशी स्पर्श करत नाहीत. जर ती रेखीय समीकरण असतील, ती एकमेकांशी समांतर असेल.

एक समाधान : प्रणालीतील सर्व समीकरणांना सत्य करण्यासाठी एक सेट चर असते. ग्राफ वर, समीकरण दर्शविलेल्या रेषा एकदाच क्रॉस करतात. जिथे ती क्रॉस होते ती त्या प्रणालीचं समाधान असते.

अनंत समाधाने : प्रणालीतील सर्व समीकरणांची सत्यता पुरणारे चर अनंत आहेत. हे सर्व समीकरणांची एकेच समीकरण असते किंवा तीच समीकरणांचा अनोखा आहे आणि म्हणूनच हेच रेषा दर्शवतात.

अन्य संबधित टर्म्स:

सुयोग्य समीकरण : एक किंवा अनंत समाधाने सामायिक करणारे दोन अथवा अधिक समीकरण सुयोग्य असतात. उदाहरणार्थ: $$5x+3y=12$$ आणि $$2x-4y=10$$ येथे एक समाधान $$\left(3,-1\right)$$ सामायिक करतात.

असंगतिचे समीकरण : ज्या दोन किंवा अधिक समीकरणांमध्ये कोणतीही समाधान सामायिक नसतात, म्हणजेच त्यांच्या रेषांमध्ये कोणतीही एक तिथे नाही. असंगतिच्या समीकरणांची रेषा एकमेकांशी समांतर असते. उदाहरणार्थ: $$5x+3y=6$$ आणि $$5x+3y=20$$ असंगतिचे आहेत कारण $$x$$ प्रत्येक समीकरणात वेगवेगळा मूल्य असतो, म्हणजेच समीकरण एकत्र चर सामायिक करत नाहीत.

स्वतंत्र समीकरण : वेगवेगळी रेषा दर्शवणारे दोन किंवा अधिक समीकरण स्वतंत्र असतात.

निर्भर समीकरण : ज्या दोन किंवा अधिक समीकरणांमध्ये समीकरण एकत्रीत समाधान अनंत देते. निर्भर समीकरणांमध्ये एका समीकरणाच्या वेगवेगळ्या रूपांतरीत एक समीकरण लिहिलेले असते. उदाहरणार्थ: $$5x+3y=12$$ आणि $$10x+6y-24=0$$ ह्याची एकच रेषा दर्शवितात आणि त्यांच्यामध्ये निर्भरता येते.