해결방법 - 완전제곱으로 이차 방정식 풀기

이차 방정식의 표준 형태, $$a{x}^2+bx+c=0$$ 를 사용하여 계수를 찾습니다:

$$16a^2+21a+3=0$$

$$a=16$$
$$b=21$$
$$c=3$$

$$a=16$$이므로, 방정식의 양변에 있는 모든 계수와 상수를 $$16$$로 나눕니다:

$$16a^2+21a+3=0$$

$$\frac{16}{16}{a}^2+21\frac{a}{16}+\frac{3}{16}=\frac{0}{16}$$

$$a^2+\frac{21}{16}a+\frac{3}{16}=0$$

계수는 다음과 같습니다:
$$a=1$$
$$b=\frac{21}{16}$$
$$c=\frac{3}{16}$$

방정식의 양변에 $$\frac{3}{16}$$을 더합니다:

$$a^2+\frac{21}{16}a+\frac{3}{16}=0$$

$$a^2+\frac{21}{16}a+\frac{3}{16}-\frac{3}{16}=0-\frac{3}{16}$$

$$a^2+\frac{21}{16}a=-\frac{3}{16}$$

방정식의 좌변을 완전 제곱식으로 만들기 위해, 새로운 상수인 $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ 를 방정식에 더합니다:

$$b=\frac{21}{16}$$

양변에 $$\frac{441}{1024}$$을 더합니다:

이제 완전 제곱식이 만들어졌으므로, $$b$$ 계수의 절반, $$\frac{b}{2}$$ 을 더하여 완전 제곱형태로 쓸 수 있습니다:
$$b=\frac{21}{16}$$

$$a^2+\frac{21}{16}a+\frac{441}{1024}=\frac{249}{1024}$$

$${\left(a+\frac{21}{32}\right)}^2=\frac{249}{1024}$$

방정식의 양변에 제곱근을 적용합니다: 중요: 상수의 제곱근을 찾을 때는 두 가지 해가 나옵니다: 양수와 음수

$${\left(a+\frac{21}{32}\right)}^2=\frac{249}{1024}$$

$$\sqrt{{\left(a+\frac{21}{32}\right)}^2}=\sqrt{\frac{249}{1024}}$$

$$a+\frac{21}{32}=\pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$$

$$a+\frac{21}{32}-\frac{21}{32}=-\frac{21}{32}\pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$$

$$a=-\frac{21}{32}\pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$$

$$a=-\frac{21}{32}\pm \frac{\sqrt{249}}{\sqrt{1024}}$$

$$a=-\frac{21}{32}\pm \frac{\sqrt{249}}{32}$$

$$a_1=-\frac{21}{32}+\frac{\sqrt{249}}{32}$$
$$a_2=-\frac{21}{32}-\frac{\sqrt{249}}{32}$$