타이거 알지브라 계산기

조합은 집합에서 항목을 배열하는 방법으로서, 배열의 순서가 중요하지 않은 경우를 말합니다. 예를 들어, 9개의 숫자 목록에서 임의로 세 개의 숫자를 선택하는 것을 생각해보세요. $$1$$을 선택한 다음 $$7$$을 선택한 후 $$4$$를 선택하든, $$7$$을 먼저 선택하고 그 다음에 $$1$$, 그리고 마지막으로 $$4$$를 선택하든 상관없습니다.
순열은 배열의 순서가 중요한 경우를 의미하는 집합에서 요소들을 배열하는 방법입니다. 이것은 자물쇠의 코드 같은 예시로 생각해 볼 수 있습니다. 만약 코드가 $$1,7,4$$라면, 이를 $$1,4,7$$ 또는 $$4,7,1$$ 또는 다른 어떤 순서로 입력할 수 없습니다.
집합에 항목이 하나 이상 있는 한, 항상 조합보다 순열이 더 많습니다.

조합과 순열 모두 반복 없이 또는 반복을 동반하여 발생할 수 있습니다, 이는 즉, 그들이 한 번 이상의 항목을 여러 번 포함하거나 그렇지 않을 수 있음을 의미합니다. 이게 크게 중요해 보이지 않을 수 있지만, 집합에서 항목을 반복하는 것은 우리가 그것을 접근하는 방법을 상당히 변화시킵니다.

표기법
$$n$$은 일반적으로 집합에서 항목의 총 개수를 나타냅니다.
$$k$$는 보통 선택된 부분집합에서 항목의 개수를 나타냅니다.
$$C$$는 일반적으로 조합을 정의합니다.
$$P$$는 일반적으로 순열을 나타냅니다.

$$P\left(n,k\right)$$는 큰 집합($$n$$) 의 부분집합($$k$$) 의 다양한 순열의 수를 나타내며, 이는 아래의 식으로 표현될 수 있습니다:
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$$C\left(n,k\right)$$는 큰 집합($$n$$) 의 부분집합($$k$$) 의 다양한 조합의 수를 나타내며, 이는 아래의 식으로 표현될 수 있습니다:
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이 표기법은 종종 "n에서 k를 선택"이라고도 합니다.

수식
우리는 순열과 조합을 계산할 때 팩토리얼 함수를 사용합니다.

반복이 있는 순열
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
예시: 반복이 가능한 경우에 총 $$9$$개의 항목 중 부분집합 $$3$$의 다양한 순열은 얼마나 많을까요?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

반복이 없는 순열
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
예시: 반복이 불가능한 경우에 총 $$9$$개의 항목 중 부분집합 $$3$$의 다양한 순열은 얼마나 많을까요?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

반복이 있는 조합
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
예시: 반복이 가능한 경우에 총 $$9$$개의 항목 중 부분집합 $$3$$의 다양한 조합은 얼마나 많을까요?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

반복이 없는 조합 이 연습 링크를 확인해 보세요
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
예시: 반복이 불가능한 경우에 총 $$9$$개의 항목 중 부분집합 $$3$$의 다양한 조합은 얼마나 많을까요?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$