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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = - 3

r=-3

この級数の和は次のようになります:

s = - 14580

s=-14580

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 729 \cdot - 3^{n - 1}

a_n=729*-3^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

729, - 2187, 6561, - 19683, 59049, - 177147, 531441, - 1594323, 4782969, - 14348907

729,-2187,6561,-19683,59049,-177147,531441,-1594323,4782969,-14348907

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = - \frac{2187}{729} = - 3$

$a_{3} a_{2} = \frac{6561}{-} 2187 = - 3$

$a_{4} a_{3} = - \frac{19683}{6561} = - 3$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = - 3$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 729$ 、共通比数: $r = - 3$ 、そして要素の数 $n = 4$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{4} = 729 * ((1 - - 3^{4}) / (1 - - 3))$

$s_{4} = 729 * ((1 - 81) / (1 - - 3))$

$s_{4} = 729 * (- 80 / (1 - - 3))$

$s_{4} = 729 * (- 80 / 4)$

$s_{4} = 729 \cdot - 20$

$s_{4} = - 14580$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 729$ と共通比数: $r = - 3$ を数式に代入します。

$a_{n} = 729 \cdot - 3^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 729$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot - 3^{2 - 1} = 729 \cdot - 3^{1} = 729 \cdot - 3 = - 2187$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot - 3^{3 - 1} = 729 \cdot - 3^{2} = 729 \cdot 9 = 6561$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot - 3^{4 - 1} = 729 \cdot - 3^{3} = 729 \cdot - 27 = - 19683$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot - 3^{5 - 1} = 729 \cdot - 3^{4} = 729 \cdot 81 = 59049$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot - 3^{6 - 1} = 729 \cdot - 3^{5} = 729 \cdot - 243 = - 177147$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot - 3^{7 - 1} = 729 \cdot - 3^{6} = 729 \cdot 729 = 531441$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot - 3^{8 - 1} = 729 \cdot - 3^{7} = 729 \cdot - 2187 = - 1594323$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot - 3^{9 - 1} = 729 \cdot - 3^{8} = 729 \cdot 6561 = 4782969$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot - 3^{10 - 1} = 729 \cdot - 3^{9} = 729 \cdot - 19683 = - 14348907$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列