解答 - 楕円の性質

$$a$$は楕円の長い半径を表し、これは主要軸の半分で、これは半主軸という名前です。
$$a$$の値を求めるには、水平な楕円の標準形を使用します:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$
$$a^2=64$$
方程式の両辺を平方根を取ります：
$$a=8$$

$$a$$は、距離を表しているため、値は常に正です。

水平な楕円では、主軸はx軸に平行し、楕円の頂点を通ります。頂点を求めるには、中心のx座標$$\left(h\right)$$に$$a$$を加えたり減らしたりします。

頂点_1を見つけるには、中心のx座標$$\left(h\right)$$に$$a$$を加えます：
頂点_1：$$\left(h+a,k\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$a=8$$
頂点_1：$$\left(1+8,-4\right)$$
頂点_1：$$\left(9;-4\right)$$

頂点_2を見つけるには、中心のx座標$$\left(h\right)$$から$$a$$を引きます：
頂点_2：$$\left(h-a,k\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$a=8$$
頂点_2：$$\left(1-8,-4\right)$$
頂点_2：$$\left(-7;-4\right)$$

$$b$$は楕円の短い半径を表しており、これは少数軸の半分に等しいです。これを半副軸と呼びます。
$$b$$の値を見つけるには、水平楕円標準形式を使用します：
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$
$$b^2=49$$
等式の両辺の平方根を求めます：
$$b=7$$
bは距離を表しているため正の値しか持ちません。

水平な楕円では、副頂点を通るY軸に平行な軸が副軸です。
中心のY座標$$\left(k\right)$$に$$b$$を加えたり引いたりして副頂点を見つけます。

副頂点_1を見つけるには、中心のy座標$$\left(k\right)$$に$$b$$を加えます：
副頂点_1：$$\left(h,k+b\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$b=7$$
副頂点_1：$$\left(1,-4+7\right)$$
副頂点_1：$$\left(1;3\right)$$

副頂点_2を見つけるには、中心のy座標$$\left(k\right)$$から$$b$$を引きます：
副頂点_2：$$\left(h,k-b\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$b=7$$
副頂点_2：$$\left(1,-4-7\right)$$
副頂点_2：$$\left(1;-11\right)$$

焦点距離は、楕円の中心から各焦点までの距離で、通常は$$f$$で表されます。

$$f$$を見つけるために、以下の数式を使用します：
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=49$$
数式に$$a^2$$と$$b^2$$を代入し、整理します。

$$f=\sqrt{64-49}$$

$$f=\sqrt{15}$$

$$f=3.873$$

$$f$$は距離を表すため、値は常に正です。

横長の楕円では、長軸はx軸に平行で焦点を通ります。
焦点は、中心のx座標$$\left(h\right)$$に$$f$$を足し引きして求めます。

焦点_1を求めるためには、中心のx座標$$\left(h\right)$$に$$f$$を加えます：
焦点_1: $$\left(h+f,k\right)$$
中心: $$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$f=3.873$$
焦点_1: $$\left(1+3.873,-4\right)$$
焦点_1: $$\left(4.873;-4\right)$$

焦点_2を求めるためには、中心のx座標$$\left(h\right)$$から$$f$$を引きます：
焦点_2: $$\left(h-f,k\right)$$
中心: $$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$f=3.873$$
焦点_2: $$\left(1-3.873,-4\right)$$
焦点_2: $$\left(-2.873;-4\right)$$

楕円の面積を求めるためには以下の式を使用します：
$$\pi ·a·b$$
$$a=8$$
$$b=7$$
この式に$$a$$と$$b$$を代入し、簡単に計算します。

$$\pi ·8·7$$

$$\pi ·56$$

面積は$$56\pi$$に等しい

x-切片を求めるには、楕円の標準方程式の$$y$$に$$0$$を代入し、得られた二次方程式を$$x$$で解きます。
二次方程式の詳しい解説はこちら。

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(0+4\right)}^2}{49}=1$$

$$x_1=7.565$$

$$x_2=-5.565$$

y-切片を求めるには、楕円の標準方程式の$$x$$に$$0$$を代入し、得られた二次方程式を$$y$$で解きます。
二次方程式の詳しい解説はこちら。

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$y_1=2.945$$

$$y_2=-10.945$$

離心率を求めるには以下の式を用います：
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=49$$
$$a=8$$
この式に$$a^2$$、$$b^2$$、そして$$a$$を代入します。

$$\frac{\sqrt{64-49}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{15}}{8}$$

$$\frac{3.873}{8}$$

$$0.484$$

離心率は$$0.484$$と等しい