解答 - 楕円の性質

$$a$$は楕円の長い半径を表し、これは主軸の半分に等しいです。
これは、半主軸と呼ばれます。
$$a$$の値を求めるためには、垂直な楕円の標準形を使用します：
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{59}=1$$
$$a^2=59$$
等式の両辺の平方根を取ります：
$$a=7.681$$

$$a$$は距離を表すので、正の値しか持ちません。

垂直楕円では、主軸はy軸に平行に走り、楕円の頂点を通ります。頂点を求めるためには、中心のy座標（$$k$$）に $$a$$ を加算し、減算します。

頂点_1を見つけるためには、中心のy座標（$$k$$）に$$a$$を足します：
頂点_1：$$\left(h,k+a\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1,-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$a=7.681$$
頂点_1：$$\left(1,-2+7.681\right)$$
頂点_1：$$\left(1;5.681\right)$$

頂点_2を見つけるためには、中心のy座標（$$k$$）から$$a$$を引きます：
頂点_2：$$\left(h,k-a\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1;-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$a=7.681$$
頂点_2：$$\left(1,-2-7.681\right)$$
頂点_2：$$\left(1;-9.681\right)$$

$$b$$は楕円の短い半径を表し、これは短軸の半分に等しいです。これを半短軸と呼びます。
$$b$$の値を見つけるには、垂直楕円の標準形を使用します：
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{59}=1$$
$$b^2=4$$
式の両辺の平方根を取ります：
$$b=2$$
bは距離を表すため、値は常に正します。

垂直楕円では、小軸はx軸に並行で、楕円の共頂点を通過します。
中心のx座標（$$h$$）から$$b$$を足し引きして共頂点を見つけます。

共頂点_1を見つけるには、中心のx座標（$$h$$）に$$b$$を足します：
共頂点_1：$$\left(h+b,k\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1;-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$b=2$$
共頂点_1：$$\left(1+2,-2\right)$$
共頂点_1：$$\left(3;-2\right)$$

共頂点_2を見つけるためには、中心のx座標（$$h$$）から$$b$$を引きます：
共頂点_2：$$\left(h-b,k\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1;-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$b=2$$
共頂点_2：$$\left(1-2,-2\right)$$
共頂点_2：$$\left(-1;-2\right)$$

焦点距離は、楕円の中心から各焦点までの距離であり、通常$$f$$で表されます。

$$f$$を見つけるためには、この式を使用します：
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=59$$
$$b^2=4$$
$$a^2$$と$$b^2$$を式に代入し、簡単にします：

$$f=\sqrt{59-4}$$

$$f=\sqrt{55}$$

$$f=7.416$$

$$f$$は距離を表すため、値は常に正です。

垂直な円錐では、主軸はy軸に平行に進み、焦点を通ります。
焦点を求めるには、中心のy座標$$\left(k\right)$$に$$f$$を加えるか減らします。

焦点1を求めるには、中心のy座標$$\left(k\right)$$に$$f$$を加えます:
焦点1: $$\left(h,k+f\right)$$
中心: $$\left(h,k\right)=\left(1;-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$f=7.416$$
焦点1: $$\left(1,-2+7.416\right)$$
焦点1: $$\left(1;5.416\right)$$

焦点2を求めるには、中心のy座標$$\left(k\right)$$から$$f$$を引きます:
焦点2: $$\left(h,k-f\right)$$
中心: $$\left(h,k\right)=\left(1;-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$f=7.416$$
焦点2: $$\left(1,-2-7.416\right)$$
焦点2: $$\left(1;-9.416\right)$$

楕円の面積を求めるためには以下の式を使用します：
$$\pi ·a·b$$
$$a=7.681$$
$$b=2$$
この式に$$a$$と$$b$$を代入し、簡単に計算します。

$$\pi ·7.681·2$$

$$\pi ·15.362$$

面積は$$15.362\pi$$に等しい

x-切片を求めるには、楕円の標準方程式の$$y$$に$$0$$を代入し、得られた二次方程式を$$x$$で解きます。
二次方程式の詳しい解説はこちら。

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{59}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(0+2\right)}^2}{59}=1$$

$$x_1=2.931$$

$$x_2=-0.931$$

y-切片を求めるには、楕円の標準方程式の$$x$$に$$0$$を代入し、得られた二次方程式を$$y$$で解きます。
二次方程式の詳しい解説はこちら。

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{59}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{59}=1$$

$$y_1=4.652$$

$$y_2=-8.652$$

離心率を求めるには以下の式を用います：
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=59$$
$$b^2=4$$
$$a=7.681$$
この式に$$a^2$$、$$b^2$$、そして$$a$$を代入します。

$$\frac{\sqrt{59-4}}{7.681}$$

$$\frac{\sqrt{55}}{7.681}$$

$$\frac{7.416}{7.681}$$

$$0.966$$

離心率は$$0.965$$と等しい