解答 - 微分

チェインルールを使用して、タンジェント関数の導関数を計算します。

$$\frac{d}{dx}\left[\tan \left(x^2\right)\right]=\frac{1}{\cos {\left(x^2\right)}^2}\times \frac{d}{dx}\left[x^2\right]$$

チェインルールにより関数を分解します。

$$\frac{d}{dx}\left[\tan \left(x^2\right)\right]=\frac{d}{dx}\left[\tan \left(x\right)\right]\times \frac{d}{dx}\left[x^2\right]$$

チェインルールを使用して、タンジェント関数の導関数を計算します。

$$\frac{d}{dx}\left[\tan \left(x^2\right)\right]=\frac{1}{\cos {\left(x^2\right)}^2}\times \frac{d}{dx}\left[x^2\right]$$

角度の正接は角度の正弦を角度の余弦で割ったものと等しいです。

$$\frac{d}{dx}\left[\tan \left(x\right)\right]=\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}\right]$$

分数の導関数を計算します。

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}\right]=\frac{\frac{d}{dx}\left[\sin \left(x\right)\right]\times \cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\times \frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\right]}{\cos {\left(x\right)}^2}$$

サイン関数の微分を計算します。

$$\frac{\frac{d}{dx}\left[\sin \left(x\right)\right]\times \cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\times \frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\right]}{\cos {\left(x\right)}^2}=\frac{\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\times \frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\right]}{\cos {\left(x\right)}^2}$$

コサイン関数の微分を計算します。

$$\frac{\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\times \frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\right]}{\cos {\left(x\right)}^2}=\frac{\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\times \left(-\sin \left(x\right)\right)}{\cos {\left(x\right)}^2}$$

マイナス記号が2つあればキャンセルでき、結果は正の値になります。

$$\frac{\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\times \left(-\sin \left(x\right)\right)}{\cos {\left(x\right)}^2}=\frac{\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\times \sin \left(x\right)}{\cos {\left(x\right)}^2}$$

同じ数字を掛けること。

$$\frac{\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\times \sin \left(x\right)}{\cos {\left(x\right)}^2}=\frac{\cos {\left(x\right)}^2+\sin \left(x\right)\times \sin \left(x\right)}{\cos {\left(x\right)}^2}$$

同じ数字を掛けること。

$$\frac{\cos {\left(x\right)}^2+\sin \left(x\right)\times \sin \left(x\right)}{\cos {\left(x\right)}^2}=\frac{\cos {\left(x\right)}^2+\sin {\left(x\right)}^2}{\cos {\left(x\right)}^2}$$

角度の余弦の二乗と同じ角度の正弦の二乗の和は常に1に等しいです。

$$\frac{\cos {\left(x\right)}^2+\sin {\left(x\right)}^2}{\cos {\left(x\right)}^2}=\frac{1}{\cos {\left(x\right)}^2}$$

変数を関数に元に戻します。

$$\frac{1}{\cos {\left(x\right)}^2}\times \frac{d}{dx}\left[x^2\right]=\frac{1}{\cos {\left(x^2\right)}^2}\times \frac{d}{dx}\left[x^2\right]$$