解答 - 微分

微分の和のルールを適用します。

$$\frac{d}{dx}[x^n+\frac{1}{n+1}]=\frac{d}{dx}\left[x^n\right]+\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{n+1}\right]$$

変数xのn乗の導関数を計算します。

$$\frac{d}{dx}\left[x^n\right]+\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{n+1}\right]=n{x}^{n-1}+\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{n+1}\right]$$

分数の導関数を計算します。

$$n{x}^{n-1}+\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{n+1}\right]=n{x}^{n-1}+\frac{\frac{d}{dx}\left[1\right]\times \left(n+1\right)-1\times \frac{d}{dx}[n+1]}{{\left(n+1\right)}^2}$$

定数値の微分は常にゼロです。

$$n{x}^{n-1}+\frac{\frac{d}{dx}\left[1\right]\times \left(n+1\right)-1\times \frac{d}{dx}[n+1]}{{\left(n+1\right)}^2}=n{x}^{n-1}+\frac{0\left(n+1\right)-1\times \frac{d}{dx}[n+1]}{{\left(n+1\right)}^2}$$

微分の和のルールを適用します。

$$n{x}^{n-1}+\frac{0\times \left(n+1\right)-1\times \frac{d}{dx}[n+1]}{{\left(n+1\right)}^2}=n{x}^{n-1}+\frac{0\times \left(n+1\right)-1\left(\frac{d}{dx}\left[n\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(n+1\right)}^2}$$

数に0を掛けると、結果は常に0になる。

$$n{x}^{n-1}+\frac{0\times \left(n+1\right)-1\left(\frac{d}{dx}\left[n\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(n+1\right)}^2}=n{x}^{n-1}+\frac{0-1\left(\frac{d}{dx}\left[n\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(n+1\right)}^2}$$

定数値の微分は常にゼロです。

$$n{x}^{n-1}+\frac{0-1\left(\frac{d}{dx}\left[n\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(n+1\right)}^2}=n{x}^{n-1}+\frac{0-1\left(\frac{d}{dx}\left[n\right]+0\right)}{{\left(n+1\right)}^2}$$

数に0を足しても、その数の値は変わらない。

$$n{x}^{n-1}+\frac{0-1\left(\frac{d}{dx}\left[n\right]+0\right)}{{\left(n+1\right)}^2}=n{x}^{n-1}+\frac{-1\left(\frac{d}{dx}\left[n\right]+0\right)}{{\left(n+1\right)}^2}$$

数に0を足しても、その数の値は変わらない。

$$n{x}^{n-1}+\frac{-1\left(\frac{d}{dx}\left[n\right]+0\right)}{{\left(n+1\right)}^2}=n{x}^{n-1}+\frac{-1\times \frac{d}{dx}\left[n\right]}{{\left(n+1\right)}^2}$$