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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.7777777777777777

r=1.7777777777777777

この級数の和は次のようになります:

s = 25

s=25

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{n - 1}

a_n=9*1.7777777777777777^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

9, 16, 28.444444444444443, 50.56790123456789, 89.89849108367625, 159.8195397043133, 284.12362614100147, 505.10866869511364, 897.9709665690908, 1596.3928294561615

9,16,28.444444444444443,50.56790123456789,89.89849108367625,159.8195397043133,284.12362614100147,505.10866869511364,897.9709665690908,1596.3928294561615

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{16}{9} = 1.7777777777777777$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.7777777777777777$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 9$ 、共通比数: $r = 1.7777777777777777$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 9 * ((1 - {1.7777777777777777}^{2}) / (1 - 1.7777777777777777))$

$s_{2} = 9 * ((1 - 3.1604938271604937) / (1 - 1.7777777777777777))$

$s_{2} = 9 * (- 2.1604938271604937 / (1 - 1.7777777777777777))$

$s_{2} = 9 * (- 2.1604938271604937 / - 0.7777777777777777)$

$s_{2} = 9 \cdot 2.777777777777778$

$s_{2} = 25.000000000000004$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 9$ と共通比数: $r = 1.7777777777777777$ を数式に代入します。

$a_{n} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 9$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{2 - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{1} = 9 \cdot 1.7777777777777777 = 16$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{3 - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{2} = 9 \cdot 3.1604938271604937 = 28.444444444444443$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{4 - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{3} = 9 \cdot 5.6186556927297655 = 50.56790123456789$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{5 - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{4} = 9 \cdot 9.988721231519584 = 89.89849108367625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{6 - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{5} = 9 \cdot 17.75772663381259 = 159.8195397043133$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{7 - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{6} = 9 \cdot 31.569291793444606 = 284.12362614100147$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{8 - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{7} = 9 \cdot 56.12318541056818 = 505.10866869511364$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{9 - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{8} = 9 \cdot 99.7745518410101 = 897.9709665690908$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{10 - 1} = 9 \cdot {1.7777777777777777}^{9} = 9 \cdot 177.3769810506846 = 1596.3928294561615$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列