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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5487804878048781

r=0.5487804878048781

この級数の和は次のようになります:

s = 127

s=127

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{n - 1}

a_n=82*0.5487804878048781^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

82, 45, 24.695121951219516, 13.552201070791199, 7.437183514458585, 4.08138119695898, 2.2397823641848063, 1.229148858394101, 0.6745329100943238, 0.37017049944200703

82,45,24.695121951219516,13.552201070791199,7.437183514458585,4.08138119695898,2.2397823641848063,1.229148858394101,0.6745329100943238,0.37017049944200703

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{45}{82} = 0.5487804878048781$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5487804878048781$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 82$ 、共通比数: $r = 0.5487804878048781$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 82 * ((1 - {0.5487804878048781}^{2}) / (1 - 0.5487804878048781))$

$s_{2} = 82 * ((1 - 0.30116002379535994) / (1 - 0.5487804878048781))$

$s_{2} = 82 * (0.69883997620464 / (1 - 0.5487804878048781))$

$s_{2} = 82 * (0.69883997620464 / 0.4512195121951219)$

$s_{2} = 82 \cdot 1.548780487804878$

$s_{2} = 127$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 82$ と共通比数: $r = 0.5487804878048781$ を数式に代入します。

$a_{n} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 82$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{2 - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{1} = 82 \cdot 0.5487804878048781 = 45$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{3 - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{2} = 82 \cdot 0.30116002379535994 = 24.695121951219516$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{4 - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{3} = 82 \cdot 0.16527074476574632 = 13.552201070791199$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{5 - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{4} = 82 \cdot 0.09069735993242177 = 7.437183514458585$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{6 - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{5} = 82 \cdot 0.04977294142632903 = 4.08138119695898$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{7 - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{6} = 82 \cdot 0.027314419075424468 = 2.2397823641848063$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{8 - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{7} = 82 \cdot 0.014989620224318306 = 1.229148858394101$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{9 - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{8} = 82 \cdot 0.008226011098711267 = 0.6745329100943238$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{10 - 1} = 82 \cdot {0.5487804878048781}^{9} = 82 \cdot 0.00451427438343911 = 0.37017049944200703$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列