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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.7407407407407407

r=1.7407407407407407

この級数の和は次のようになります:

s = 222

s=222

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{n - 1}

a_n=81*1.7407407407407407^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

81, 141, 245.44444444444443, 427.2551440329218, 743.7404359091602, 1294.6592773233526, 2253.666149414725, 3923.0484823145216, 6829.010321066019, 11887.536484818625

81,141,245.44444444444443,427.2551440329218,743.7404359091602,1294.6592773233526,2253.666149414725,3923.0484823145216,6829.010321066019,11887.536484818625

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{141}{81} = 1.7407407407407407$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.7407407407407407$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 81$ 、共通比数: $r = 1.7407407407407407$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 81 * ((1 - {1.7407407407407407}^{2}) / (1 - 1.7407407407407407))$

$s_{2} = 81 * ((1 - 3.0301783264746227) / (1 - 1.7407407407407407))$

$s_{2} = 81 * (- 2.0301783264746227 / (1 - 1.7407407407407407))$

$s_{2} = 81 * (- 2.0301783264746227 / - 0.7407407407407407)$

$s_{2} = 81 \cdot 2.740740740740741$

$s_{2} = 222.00000000000003$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 81$ と共通比数: $r = 1.7407407407407407$ を数式に代入します。

$a_{n} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 81$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{2 - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{1} = 81 \cdot 1.7407407407407407 = 141$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{3 - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{2} = 81 \cdot 3.0301783264746227 = 245.44444444444443$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{4 - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{3} = 81 \cdot 5.274754864603973 = 427.2551440329218$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{5 - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{4} = 81 \cdot 9.181980690236545 = 743.7404359091602$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{6 - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{5} = 81 \cdot 15.98344786818954 = 1294.6592773233526$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{7 - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{6} = 81 \cdot 27.823038881663273 = 2253.666149414725$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{8 - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{7} = 81 \cdot 48.43269731252496 = 3923.0484823145216$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{9 - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{8} = 81 \cdot 84.30876939587678 = 6829.010321066019$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{10 - 1} = 81 \cdot {1.7407407407407407}^{9} = 81 \cdot 146.75970968911884 = 11887.536484818625$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列