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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = - 0.25

r=-0.25

この級数の和は次のようになります:

s = 6375

s=6375

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 8000 \cdot - {0.25}^{n - 1}

a_n=8000*-0.25^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

8000, - 2000, 500, - 125, 31.25, - 7.8125, 1.953125, - 0.48828125, 0.1220703125, - 0.030517578125

8000,-2000,500,-125,31.25,-7.8125,1.953125,-0.48828125,0.1220703125,-0.030517578125

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = - \frac{2000}{8000} = - 0.25$

$a_{3} a_{2} = \frac{500}{-} 2000 = - 0.25$

$a_{4} a_{3} = - \frac{125}{500} = - 0.25$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = - 0.25$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 8, 000$ 、共通比数: $r = - 0.25$ 、そして要素の数 $n = 4$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{4} = 8000 * ((1 - - {0.25}^{4}) / (1 - - 0.25))$

$s_{4} = 8000 * ((1 - 0.00390625) / (1 - - 0.25))$

$s_{4} = 8000 * (0.99609375 / (1 - - 0.25))$

$s_{4} = 8000 * (0.99609375 / 1.25)$

$s_{4} = 8000 \cdot 0.796875$

$s_{4} = 6375$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 8, 000$ と共通比数: $r = - 0.25$ を数式に代入します。

$a_{n} = 8000 \cdot - {0.25}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 8000$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{2 - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{1} = 8000 \cdot - 0.25 = - 2000$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{3 - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{2} = 8000 \cdot 0.0625 = 500$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{4 - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{3} = 8000 \cdot - 0.015625 = - 125$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{5 - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{4} = 8000 \cdot 0.00390625 = 31.25$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{6 - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{5} = 8000 \cdot - 0.0009765625 = - 7.8125$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{7 - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{6} = 8000 \cdot 0.000244140625 = 1.953125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{8 - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{7} = 8000 \cdot - 6.103515625 E - 05 = - 0.48828125$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{9 - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{8} = 8000 \cdot 1.52587890625 E - 05 = 0.1220703125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{10 - 1} = 8000 \cdot - {0.25}^{9} = 8000 \cdot - 3.814697265625 E - 06 = - 0.030517578125$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列