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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.3375

r=0.3375

この級数の和は次のようになります:

s = 107

s=107

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 80 \cdot {0.3375}^{n - 1}

a_n=80*0.3375^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

80, 27, 9.1125, 3.0754687500000006, 1.0379707031250003, 0.35031511230468765, 0.11823135040283207, 0.03990308076095583, 0.013467289756822593, 0.004545210292927626

80,27,9.1125,3.0754687500000006,1.0379707031250003,0.35031511230468765,0.11823135040283207,0.03990308076095583,0.013467289756822593,0.004545210292927626

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{27}{80} = 0.3375$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.3375$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 80$ 、共通比数: $r = 0.3375$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 80 * ((1 - {0.3375}^{2}) / (1 - 0.3375))$

$s_{2} = 80 * ((1 - 0.11390625000000001) / (1 - 0.3375))$

$s_{2} = 80 * (0.88609375 / (1 - 0.3375))$

$s_{2} = 80 * (0.88609375 / 0.6625)$

$s_{2} = 80 \cdot 1.3375000000000001$

$s_{2} = 107.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 80$ と共通比数: $r = 0.3375$ を数式に代入します。

$a_{n} = 80 \cdot {0.3375}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 80$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{2 - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{1} = 80 \cdot 0.3375 = 27$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{3 - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{2} = 80 \cdot 0.11390625000000001 = 9.1125$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{4 - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{3} = 80 \cdot 0.03844335937500001 = 3.0754687500000006$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{5 - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{4} = 80 \cdot 0.012974633789062504 = 1.0379707031250003$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{6 - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{5} = 80 \cdot 0.004378938903808595 = 0.35031511230468765$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{7 - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{6} = 80 \cdot 0.001477891880035401 = 0.11823135040283207$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{8 - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{7} = 80 \cdot 0.0004987885095119478 = 0.03990308076095583$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{9 - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{8} = 80 \cdot 0.00016834112196028242 = 0.013467289756822593$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{10 - 1} = 80 \cdot {0.3375}^{9} = 80 \cdot 5.681512866159532 E - 05 = 0.004545210292927626$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列