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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = - 2.5

r=-2.5

この級数の和は次のようになります:

s = - 870

s=-870

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 80 \cdot - {2.5}^{n - 1}

a_n=80*-2.5^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

80, - 200, 500, - 1250, 3125, - 7812.5, 19531.25, - 48828.125, 122070.3125, - 305175.78125

80,-200,500,-1250,3125,-7812.5,19531.25,-48828.125,122070.3125,-305175.78125

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = - \frac{200}{80} = - 2.5$

$a_{3} a_{2} = \frac{500}{-} 200 = - 2.5$

$a_{4} a_{3} = - \frac{1250}{500} = - 2.5$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = - 2.5$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 80$ 、共通比数: $r = - 2.5$ 、そして要素の数 $n = 4$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{4} = 80 * ((1 - - {2.5}^{4}) / (1 - - 2.5))$

$s_{4} = 80 * ((1 - 39.0625) / (1 - - 2.5))$

$s_{4} = 80 * (- 38.0625 / (1 - - 2.5))$

$s_{4} = 80 * (- 38.0625 / 3.5)$

$s_{4} = 80 \cdot - 10.875$

$s_{4} = - 870$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 80$ と共通比数: $r = - 2.5$ を数式に代入します。

$a_{n} = 80 \cdot - {2.5}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 80$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{2 - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{1} = 80 \cdot - 2.5 = - 200$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{3 - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{2} = 80 \cdot 6.25 = 500$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{4 - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{3} = 80 \cdot - 15.625 = - 1250$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{5 - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{4} = 80 \cdot 39.0625 = 3125$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{6 - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{5} = 80 \cdot - 97.65625 = - 7812.5$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{7 - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{6} = 80 \cdot 244.140625 = 19531.25$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{8 - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{7} = 80 \cdot - 610.3515625 = - 48828.125$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{9 - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{8} = 80 \cdot 1525.87890625 = 122070.3125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{10 - 1} = 80 \cdot - {2.5}^{9} = 80 \cdot - 3814.697265625 = - 305175.78125$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列