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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 3.875

r=3.875

この級数の和は次のようになります:

s = 39

s=39

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 8 \cdot {3.875}^{n - 1}

a_n=8*3.875^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

8, 31, 120.125, 465.484375, 1803.751953125, 6989.538818359375, 27084.462921142578, 104952.29381942749, 406690.1385502815, 1575924.286882341

8,31,120.125,465.484375,1803.751953125,6989.538818359375,27084.462921142578,104952.29381942749,406690.1385502815,1575924.286882341

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{31}{8} = 3.875$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 3.875$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 8$ 、共通比数: $r = 3.875$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 8 * ((1 - {3.875}^{2}) / (1 - 3.875))$

$s_{2} = 8 * ((1 - 15.015625) / (1 - 3.875))$

$s_{2} = 8 * (- 14.015625 / (1 - 3.875))$

$s_{2} = 8 * (- 14.015625 / - 2.875)$

$s_{2} = 8 \cdot 4.875$

$s_{2} = 39$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 8$ と共通比数: $r = 3.875$ を数式に代入します。

$a_{n} = 8 \cdot {3.875}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 8$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot {3.875}^{2 - 1} = 8 \cdot {3.875}^{1} = 8 \cdot 3.875 = 31$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot {3.875}^{3 - 1} = 8 \cdot {3.875}^{2} = 8 \cdot 15.015625 = 120.125$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot {3.875}^{4 - 1} = 8 \cdot {3.875}^{3} = 8 \cdot 58.185546875 = 465.484375$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot {3.875}^{5 - 1} = 8 \cdot {3.875}^{4} = 8 \cdot 225.468994140625 = 1803.751953125$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot {3.875}^{6 - 1} = 8 \cdot {3.875}^{5} = 8 \cdot 873.6923522949219 = 6989.538818359375$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot {3.875}^{7 - 1} = 8 \cdot {3.875}^{6} = 8 \cdot 3385.5578651428223 = 27084.462921142578$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot {3.875}^{8 - 1} = 8 \cdot {3.875}^{7} = 8 \cdot 13119.036727428436 = 104952.29381942749$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot {3.875}^{9 - 1} = 8 \cdot {3.875}^{8} = 8 \cdot 50836.26731878519 = 406690.1385502815$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot {3.875}^{10 - 1} = 8 \cdot {3.875}^{9} = 8 \cdot 196990.5358602926 = 1575924.286882341$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列