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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = - 2.5

r=-2.5

この級数の和は次のようになります:

s = 38

s=38

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 8 \cdot - {2.5}^{n - 1}

a_n=8*-2.5^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

8, - 20, 50, - 125, 312.5, - 781.25, 1953.125, - 4882.8125, 12207.03125, - 30517.578125

8,-20,50,-125,312.5,-781.25,1953.125,-4882.8125,12207.03125,-30517.578125

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = - \frac{20}{8} = - 2.5$

$a_{3} a_{2} = \frac{50}{-} 20 = - 2.5$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = - 2.5$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 8$ 、共通比数: $r = - 2.5$ 、そして要素の数 $n = 3$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{3} = 8 * ((1 - - {2.5}^{3}) / (1 - - 2.5))$

$s_{3} = 8 * ((1 - - 15.625) / (1 - - 2.5))$

$s_{3} = 8 * (16.625 / (1 - - 2.5))$

$s_{3} = 8 * (16.625 / 3.5)$

$s_{3} = 8 \cdot 4.75$

$s_{3} = 38$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 8$ と共通比数: $r = - 2.5$ を数式に代入します。

$a_{n} = 8 \cdot - {2.5}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 8$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{2 - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{1} = 8 \cdot - 2.5 = - 20$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{3 - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{2} = 8 \cdot 6.25 = 50$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{4 - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{3} = 8 \cdot - 15.625 = - 125$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{5 - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{4} = 8 \cdot 39.0625 = 312.5$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{6 - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{5} = 8 \cdot - 97.65625 = - 781.25$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{7 - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{6} = 8 \cdot 244.140625 = 1953.125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{8 - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{7} = 8 \cdot - 610.3515625 = - 4882.8125$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{9 - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{8} = 8 \cdot 1525.87890625 = 12207.03125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{10 - 1} = 8 \cdot - {2.5}^{9} = 8 \cdot - 3814.697265625 = - 30517.578125$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列