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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 42.69230769230769

r=42.69230769230769

この級数の和は次のようになります:

s = 3408

s=3408

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{n - 1}

a_n=78*42.69230769230769^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

78, 3330, 142165.38461538462, 6069368.343195267, 259115340.80564407, 11062231857.471727, 472272206222.8315, 20162390342590.113, 860778972318270.2, 36748640741280000

78,3330,142165.38461538462,6069368.343195267,259115340.80564407,11062231857.471727,472272206222.8315,20162390342590.113,860778972318270.2,36748640741280000

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{3330}{78} = 42.69230769230769$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 42.69230769230769$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 78$ 、共通比数: $r = 42.69230769230769$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 78 * ((1 - {42.69230769230769}^{2}) / (1 - 42.69230769230769))$

$s_{2} = 78 * ((1 - 1822.6331360946747) / (1 - 42.69230769230769))$

$s_{2} = 78 * (- 1821.6331360946747 / (1 - 42.69230769230769))$

$s_{2} = 78 * (- 1821.6331360946747 / - 41.69230769230769)$

$s_{2} = 78 \cdot 43.69230769230769$

$s_{2} = 3408$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 78$ と共通比数: $r = 42.69230769230769$ を数式に代入します。

$a_{n} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 78$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{2 - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{1} = 78 \cdot 42.69230769230769 = 3330$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{3 - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{2} = 78 \cdot 1822.6331360946747 = 142165.38461538462$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{4 - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{3} = 78 \cdot 77812.41465634957 = 6069368.343195267$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{5 - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{4} = 78 \cdot 3321991.5487903086 = 259115340.80564407$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{6 - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{5} = 78 \cdot 141823485.35220164 = 11062231857.471727$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{7 - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{6} = 78 \cdot 6054771874.651686 = 472272206222.8315$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{8 - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{7} = 78 \cdot 258492183879.36044 = 20162390342590.113$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{9 - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{8} = 78 \cdot 11035627850234.234 = 860778972318270.2$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{10 - 1} = 78 \cdot {42.69230769230769}^{9} = 78 \cdot 471136419760000 = 36748640741280000$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列