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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.3076923076923077

r=0.3076923076923077

この級数の和は次のようになります:

s = 102

s=102

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{n - 1}

a_n=78*0.3076923076923077^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

78, 24, 7.384615384615386, 2.2721893491124265, 0.699135184342285, 0.21511851825916467, 0.0661903133105122, 0.020366250249388373, 0.0062665385382733455, 0.0019281657040841063

78,24,7.384615384615386,2.2721893491124265,0.699135184342285,0.21511851825916467,0.0661903133105122,0.020366250249388373,0.0062665385382733455,0.0019281657040841063

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{24}{78} = 0.3076923076923077$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.3076923076923077$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 78$ 、共通比数: $r = 0.3076923076923077$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 78 * ((1 - {0.3076923076923077}^{2}) / (1 - 0.3076923076923077))$

$s_{2} = 78 * ((1 - 0.09467455621301776) / (1 - 0.3076923076923077))$

$s_{2} = 78 * (0.9053254437869822 / (1 - 0.3076923076923077))$

$s_{2} = 78 * (0.9053254437869822 / 0.6923076923076923)$

$s_{2} = 78 \cdot 1.3076923076923077$

$s_{2} = 102$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 78$ と共通比数: $r = 0.3076923076923077$ を数式に代入します。

$a_{n} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 78$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{2 - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{1} = 78 \cdot 0.3076923076923077 = 24$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{3 - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{2} = 78 \cdot 0.09467455621301776 = 7.384615384615386$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{4 - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{3} = 78 \cdot 0.029130632680928543 = 2.2721893491124265$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{5 - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{4} = 78 \cdot 0.00896327159413186 = 0.699135184342285$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{6 - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{5} = 78 \cdot 0.002757929721271342 = 0.21511851825916467$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{7 - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{6} = 78 \cdot 0.0008485937603911821 = 0.0661903133105122$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{8 - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{7} = 78 \cdot 0.00026110577242805606 = 0.020366250249388373$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{9 - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{8} = 78 \cdot 8.03402376701711 E - 05 = 0.0062665385382733455$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{10 - 1} = 78 \cdot {0.3076923076923077}^{9} = 78 \cdot 2.4720073129283415 E - 05 = 0.0019281657040841063$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列