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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.7692307692307692

r=1.7692307692307692

この級数の和は次のようになります:

s = 216

s=216

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{n - 1}

a_n=78*1.7692307692307692^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

78, 138, 244.15384615384613, 431.9644970414201, 764.244879380974, 1352.125555827877, 2392.222137233936, 4232.393012029271, 7488.07994435948, 13248.141440020616

78,138,244.15384615384613,431.9644970414201,764.244879380974,1352.125555827877,2392.222137233936,4232.393012029271,7488.07994435948,13248.141440020616

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{138}{78} = 1.7692307692307692$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.7692307692307692$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 78$ 、共通比数: $r = 1.7692307692307692$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 78 * ((1 - {1.7692307692307692}^{2}) / (1 - 1.7692307692307692))$

$s_{2} = 78 * ((1 - 3.130177514792899) / (1 - 1.7692307692307692))$

$s_{2} = 78 * (- 2.130177514792899 / (1 - 1.7692307692307692))$

$s_{2} = 78 * (- 2.130177514792899 / - 0.7692307692307692)$

$s_{2} = 78 \cdot 2.769230769230769$

$s_{2} = 216$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 78$ と共通比数: $r = 1.7692307692307692$ を数式に代入します。

$a_{n} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 78$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{2 - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{1} = 78 \cdot 1.7692307692307692 = 138$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{3 - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{2} = 78 \cdot 3.130177514792899 = 244.15384615384613$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{4 - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{3} = 78 \cdot 5.538006372325898 = 431.9644970414201$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{5 - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{4} = 78 \cdot 9.798011274115051 = 764.244879380974$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{6 - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{5} = 78 \cdot 17.33494302343432 = 1352.125555827877$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{7 - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{6} = 78 \cdot 30.669514579922257 = 2392.222137233936$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{8 - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{7} = 78 \cdot 54.26144887217014 = 4232.393012029271$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{9 - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{8} = 78 \cdot 96.00102492768563 = 7488.07994435948$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{10 - 1} = 78 \cdot {1.7692307692307692}^{9} = 78 \cdot 169.8479671797515 = 13248.141440020616$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列