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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 3.5714285714285716

r=3.5714285714285716

この級数の和は次のようになります:

s = 32

s=32

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{n - 1}

a_n=7*3.5714285714285716^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

7, 25, 89.28571428571429, 318.8775510204082, 1138.848396501458, 4067.3157017909216, 14526.127506396148, 51879.026808557675, 185282.2386019917, 661722.2807213991

7,25,89.28571428571429,318.8775510204082,1138.848396501458,4067.3157017909216,14526.127506396148,51879.026808557675,185282.2386019917,661722.2807213991

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{25}{7} = 3.5714285714285716$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 3.5714285714285716$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 7$ 、共通比数: $r = 3.5714285714285716$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 7 * ((1 - {3.5714285714285716}^{2}) / (1 - 3.5714285714285716))$

$s_{2} = 7 * ((1 - 12.755102040816327) / (1 - 3.5714285714285716))$

$s_{2} = 7 * (- 11.755102040816327 / (1 - 3.5714285714285716))$

$s_{2} = 7 * (- 11.755102040816327 / - 2.5714285714285716)$

$s_{2} = 7 \cdot 4.571428571428571$

$s_{2} = 32$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 7$ と共通比数: $r = 3.5714285714285716$ を数式に代入します。

$a_{n} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 7$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{2 - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{1} = 7 \cdot 3.5714285714285716 = 25$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{3 - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{2} = 7 \cdot 12.755102040816327 = 89.28571428571429$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{4 - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{3} = 7 \cdot 45.55393586005832 = 318.8775510204082$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{5 - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{4} = 7 \cdot 162.69262807163685 = 1138.848396501458$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{6 - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{5} = 7 \cdot 581.0451002558459 = 4067.3157017909216$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{7 - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{6} = 7 \cdot 2075.161072342307 = 14526.127506396148$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{8 - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{7} = 7 \cdot 7411.289544079668 = 51879.026808557675$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{9 - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{8} = 7 \cdot 26468.89122885596 = 185282.2386019917$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{10 - 1} = 7 \cdot {3.5714285714285716}^{9} = 7 \cdot 94531.7543887713 = 661722.2807213991$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列