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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.1111111111111111

r=0.1111111111111111

この級数の和は次のようになります:

s = 7380

s=7380

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{n - 1}

a_n=6561*0.1111111111111111^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

6561, 729, 81, 8.999999999999998, 0.9999999999999999, 0.11111111111111108, 0.012345679012345675, 0.0013717421124828527, 0.0001524157902758725, 1.693508780843028 E - 05

6561,729,81,8.999999999999998,0.9999999999999999,0.11111111111111108,0.012345679012345675,0.0013717421124828527,0.0001524157902758725,1.693508780843028E-05

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{729}{6561} = 0.1111111111111111$

$a_{3} a_{2} = \frac{81}{729} = 0.1111111111111111$

$a_{4} a_{3} = \frac{9}{81} = 0.1111111111111111$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.1111111111111111$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 6, 561$ 、共通比数: $r = 0.1111111111111111$ 、そして要素の数 $n = 4$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{4} = 6561 * ((1 - {0.1111111111111111}^{4}) / (1 - 0.1111111111111111))$

$s_{4} = 6561 * ((1 - 0.00015241579027587256) / (1 - 0.1111111111111111))$

$s_{4} = 6561 * (0.9998475842097241 / (1 - 0.1111111111111111))$

$s_{4} = 6561 * (0.9998475842097241 / 0.8888888888888888)$

$s_{4} = 6561 \cdot 1.1248285322359397$

$s_{4} = 7380$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 6, 561$ と共通比数: $r = 0.1111111111111111$ を数式に代入します。

$a_{n} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 6561$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{2 - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{1} = 6561 \cdot 0.1111111111111111 = 729$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{3 - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{2} = 6561 \cdot 0.012345679012345678 = 81$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{4 - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{3} = 6561 \cdot 0.001371742112482853 = 8.999999999999998$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{5 - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{4} = 6561 \cdot 0.00015241579027587256 = 0.9999999999999999$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{6 - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{5} = 6561 \cdot 1.6935087808430282 E - 05 = 0.11111111111111108$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{7 - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{6} = 6561 \cdot 1.8816764231589202 E - 06 = 0.012345679012345675$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{8 - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{7} = 6561 \cdot 2.090751581287689 E - 07 = 0.0013717421124828527$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{9 - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{8} = 6561 \cdot 2.3230573125418763 E - 08 = 0.0001524157902758725$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{10 - 1} = 6561 \cdot {0.1111111111111111}^{9} = 6561 \cdot 2.581174791713196 E - 09 = 1.693508780843028 E - 05$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列