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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.1851851851851851

r=1.1851851851851851

この級数の和は次のようになります:

s = 118

s=118

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{n - 1}

a_n=54*1.1851851851851851^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

54, 64, 75.85185185185185, 89.89849108367625, 106.54635980287556, 126.27716717377844, 149.66182776151516, 177.37698105068463, 210.22457013414473, 249.1550460849123

54,64,75.85185185185185,89.89849108367625,106.54635980287556,126.27716717377844,149.66182776151516,177.37698105068463,210.22457013414473,249.1550460849123

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{64}{54} = 1.1851851851851851$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.1851851851851851$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 54$ 、共通比数: $r = 1.1851851851851851$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 54 * ((1 - {1.1851851851851851}^{2}) / (1 - 1.1851851851851851))$

$s_{2} = 54 * ((1 - 1.4046639231824416) / (1 - 1.1851851851851851))$

$s_{2} = 54 * (- 0.4046639231824416 / (1 - 1.1851851851851851))$

$s_{2} = 54 * (- 0.4046639231824416 / - 0.18518518518518512)$

$s_{2} = 54 \cdot 2.1851851851851856$

$s_{2} = 118.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 54$ と共通比数: $r = 1.1851851851851851$ を数式に代入します。

$a_{n} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 54$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{2 - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{1} = 54 \cdot 1.1851851851851851 = 64$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{3 - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{2} = 54 \cdot 1.4046639231824416 = 75.85185185185185$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{4 - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{3} = 54 \cdot 1.6647868719199306 = 89.89849108367625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{5 - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{4} = 54 \cdot 1.973080737090288 = 106.54635980287556$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{6 - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{5} = 54 \cdot 2.3384660587736747 = 126.27716717377844$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{7 - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{6} = 54 \cdot 2.7715153289169474 = 149.66182776151516$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{8 - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{7} = 54 \cdot 3.284758908346012 = 177.37698105068463$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{9 - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{8} = 54 \cdot 3.8930475950767542 = 210.22457013414473$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{10 - 1} = 54 \cdot {1.1851851851851851}^{9} = 54 \cdot 4.613982334905783 = 249.1550460849123$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列