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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = - 3

r=-3

この級数の和は次のようになります:

s = 378

s=378

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 54 \cdot - 3^{n - 1}

a_n=54*-3^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

54, - 162, 486, - 1458, 4374, - 13122, 39366, - 118098, 354294, - 1062882

54,-162,486,-1458,4374,-13122,39366,-118098,354294,-1062882

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = - \frac{162}{54} = - 3$

$a_{3} a_{2} = \frac{486}{-} 162 = - 3$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = - 3$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 54$ 、共通比数: $r = - 3$ 、そして要素の数 $n = 3$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{3} = 54 * ((1 - - 3^{3}) / (1 - - 3))$

$s_{3} = 54 * ((1 - - 27) / (1 - - 3))$

$s_{3} = 54 * (28 / (1 - - 3))$

$s_{3} = 54 * (28 / 4)$

$s_{3} = 54 \cdot 7$

$s_{3} = 378$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 54$ と共通比数: $r = - 3$ を数式に代入します。

$a_{n} = 54 \cdot - 3^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 54$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot - 3^{2 - 1} = 54 \cdot - 3^{1} = 54 \cdot - 3 = - 162$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot - 3^{3 - 1} = 54 \cdot - 3^{2} = 54 \cdot 9 = 486$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot - 3^{4 - 1} = 54 \cdot - 3^{3} = 54 \cdot - 27 = - 1458$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot - 3^{5 - 1} = 54 \cdot - 3^{4} = 54 \cdot 81 = 4374$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot - 3^{6 - 1} = 54 \cdot - 3^{5} = 54 \cdot - 243 = - 13122$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot - 3^{7 - 1} = 54 \cdot - 3^{6} = 54 \cdot 729 = 39366$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot - 3^{8 - 1} = 54 \cdot - 3^{7} = 54 \cdot - 2187 = - 118098$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot - 3^{9 - 1} = 54 \cdot - 3^{8} = 54 \cdot 6561 = 354294$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot - 3^{10 - 1} = 54 \cdot - 3^{9} = 54 \cdot - 19683 = - 1062882$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列