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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = - 2

r=-2

この級数の和は次のようになります:

s = 440

s=440

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 40 \cdot - 2^{n - 1}

a_n=40*-2^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

40, - 80, 160, - 320, 640, - 1280, 2560, - 5120, 10240, - 20480

40,-80,160,-320,640,-1280,2560,-5120,10240,-20480

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = - \frac{80}{40} = - 2$

$a_{3} a_{2} = \frac{160}{-} 80 = - 2$

$a_{4} a_{3} = - \frac{320}{160} = - 2$

$a_{5} a_{4} = \frac{640}{-} 320 = - 2$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = - 2$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 40$ 、共通比数: $r = - 2$ 、そして要素の数 $n = 5$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{5} = 40 * ((1 - - 2^{5}) / (1 - - 2))$

$s_{5} = 40 * ((1 - - 32) / (1 - - 2))$

$s_{5} = 40 * (33 / (1 - - 2))$

$s_{5} = 40 * (33 / 3)$

$s_{5} = 40 \cdot 11$

$s_{5} = 440$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 40$ と共通比数: $r = - 2$ を数式に代入します。

$a_{n} = 40 \cdot - 2^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 40$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot - 2^{2 - 1} = 40 \cdot - 2^{1} = 40 \cdot - 2 = - 80$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot - 2^{3 - 1} = 40 \cdot - 2^{2} = 40 \cdot 4 = 160$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot - 2^{4 - 1} = 40 \cdot - 2^{3} = 40 \cdot - 8 = - 320$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot - 2^{5 - 1} = 40 \cdot - 2^{4} = 40 \cdot 16 = 640$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot - 2^{6 - 1} = 40 \cdot - 2^{5} = 40 \cdot - 32 = - 1280$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot - 2^{7 - 1} = 40 \cdot - 2^{6} = 40 \cdot 64 = 2560$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot - 2^{8 - 1} = 40 \cdot - 2^{7} = 40 \cdot - 128 = - 5120$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot - 2^{9 - 1} = 40 \cdot - 2^{8} = 40 \cdot 256 = 10240$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot - 2^{10 - 1} = 40 \cdot - 2^{9} = 40 \cdot - 512 = - 20480$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列