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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.90625

r=1.90625

この級数の和は次のようになります:

s = 93

s=93

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 32 \cdot {1.90625}^{n - 1}

a_n=32*1.90625^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

32, 61, 116.28125, 221.6611328125, 422.5415344238281, 805.4697999954224, 1535.4268062412739, 2926.9073493974283, 5579.417134788848, 10635.76391319124

32,61,116.28125,221.6611328125,422.5415344238281,805.4697999954224,1535.4268062412739,2926.9073493974283,5579.417134788848,10635.76391319124

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{61}{32} = 1.90625$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.90625$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 32$ 、共通比数: $r = 1.90625$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 32 * ((1 - {1.90625}^{2}) / (1 - 1.90625))$

$s_{2} = 32 * ((1 - 3.6337890625) / (1 - 1.90625))$

$s_{2} = 32 * (- 2.6337890625 / (1 - 1.90625))$

$s_{2} = 32 * (- 2.6337890625 / - 0.90625)$

$s_{2} = 32 \cdot 2.90625$

$s_{2} = 93$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 32$ と共通比数: $r = 1.90625$ を数式に代入します。

$a_{n} = 32 \cdot {1.90625}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 32$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{2 - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{1} = 32 \cdot 1.90625 = 61$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{3 - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{2} = 32 \cdot 3.6337890625 = 116.28125$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{4 - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{3} = 32 \cdot 6.926910400390625 = 221.6611328125$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{5 - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{4} = 32 \cdot 13.204422950744629 = 422.5415344238281$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{6 - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{5} = 32 \cdot 25.17093124985695 = 805.4697999954224$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{7 - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{6} = 32 \cdot 47.98208769503981 = 1535.4268062412739$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{8 - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{7} = 32 \cdot 91.46585466866964 = 2926.9073493974283$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{9 - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{8} = 32 \cdot 174.3567854621515 = 5579.417134788848$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{10 - 1} = 32 \cdot {1.90625}^{9} = 32 \cdot 332.36762228722625 = 10635.76391319124$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列