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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.15625

r=1.15625

この級数の和は次のようになります:

s = 69

s=69

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 32 \cdot {1.15625}^{n - 1}

a_n=32*1.15625^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

32, 37, 42.78125, 49.4658203125, 57.194854736328125, 66.1315507888794, 76.4646055996418, 88.41220022458583, 102.22660650967737, 118.19951377681446

32,37,42.78125,49.4658203125,57.194854736328125,66.1315507888794,76.4646055996418,88.41220022458583,102.22660650967737,118.19951377681446

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{37}{32} = 1.15625$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.15625$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 32$ 、共通比数: $r = 1.15625$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 32 * ((1 - {1.15625}^{2}) / (1 - 1.15625))$

$s_{2} = 32 * ((1 - 1.3369140625) / (1 - 1.15625))$

$s_{2} = 32 * (- 0.3369140625 / (1 - 1.15625))$

$s_{2} = 32 * (- 0.3369140625 / - 0.15625)$

$s_{2} = 32 \cdot 2.15625$

$s_{2} = 69$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 32$ と共通比数: $r = 1.15625$ を数式に代入します。

$a_{n} = 32 \cdot {1.15625}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 32$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{2 - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{1} = 32 \cdot 1.15625 = 37$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{3 - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{2} = 32 \cdot 1.3369140625 = 42.78125$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{4 - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{3} = 32 \cdot 1.545806884765625 = 49.4658203125$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{5 - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{4} = 32 \cdot 1.787339210510254 = 57.194854736328125$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{6 - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{5} = 32 \cdot 2.066610962152481 = 66.1315507888794$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{7 - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{6} = 32 \cdot 2.3895189249888062 = 76.4646055996418$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{8 - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{7} = 32 \cdot 2.7628812570183072 = 88.41220022458583$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{9 - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{8} = 32 \cdot 3.1945814534274177 = 102.22660650967737$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{10 - 1} = 32 \cdot {1.15625}^{9} = 32 \cdot 3.6937348055254517 = 118.19951377681446$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列