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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 5

r=5

この級数の和は次のようになります:

s = 961

s=961

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 31 \cdot 5^{n - 1}

a_n=31*5^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

31, 155, 775, 3875, 19375, 96875, 484375, 2421875, 12109375, 60546875

31,155,775,3875,19375,96875,484375,2421875,12109375,60546875

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{155}{31} = 5$

$a_{3} a_{2} = \frac{775}{155} = 5$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 5$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 31$ 、共通比数: $r = 5$ 、そして要素の数 $n = 3$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{3} = 31 * ((1 - 5^{3}) / (1 - 5))$

$s_{3} = 31 * ((1 - 125) / (1 - 5))$

$s_{3} = 31 * (- 124 / (1 - 5))$

$s_{3} = 31 * (- 124 / - 4)$

$s_{3} = 31 \cdot 31$

$s_{3} = 961$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 31$ と共通比数: $r = 5$ を数式に代入します。

$a_{n} = 31 \cdot 5^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 31$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 31 \cdot 5^{2 - 1} = 31 \cdot 5^{1} = 31 \cdot 5 = 155$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 31 \cdot 5^{3 - 1} = 31 \cdot 5^{2} = 31 \cdot 25 = 775$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 31 \cdot 5^{4 - 1} = 31 \cdot 5^{3} = 31 \cdot 125 = 3875$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 31 \cdot 5^{5 - 1} = 31 \cdot 5^{4} = 31 \cdot 625 = 19375$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 31 \cdot 5^{6 - 1} = 31 \cdot 5^{5} = 31 \cdot 3125 = 96875$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 31 \cdot 5^{7 - 1} = 31 \cdot 5^{6} = 31 \cdot 15625 = 484375$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 31 \cdot 5^{8 - 1} = 31 \cdot 5^{7} = 31 \cdot 78125 = 2421875$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 31 \cdot 5^{9 - 1} = 31 \cdot 5^{8} = 31 \cdot 390625 = 12109375$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 31 \cdot 5^{10 - 1} = 31 \cdot 5^{9} = 31 \cdot 1953125 = 60546875$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列