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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = - 9

r=-9

この級数の和は次のようになります:

s = 219

s=219

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 3 \cdot - 9^{n - 1}

a_n=3*-9^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

3, - 27, 243, - 2187, 19683, - 177147, 1594323, - 14348907, 129140163, - 1162261467

3,-27,243,-2187,19683,-177147,1594323,-14348907,129140163,-1162261467

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = - \frac{27}{3} = - 9$

$a_{3} a_{2} = \frac{243}{-} 27 = - 9$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = - 9$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 3$ 、共通比数: $r = - 9$ 、そして要素の数 $n = 3$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{3} = 3 * ((1 - - 9^{3}) / (1 - - 9))$

$s_{3} = 3 * ((1 - - 729) / (1 - - 9))$

$s_{3} = 3 * (730 / (1 - - 9))$

$s_{3} = 3 * (730 / 10)$

$s_{3} = 3 \cdot 73$

$s_{3} = 219$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 3$ と共通比数: $r = - 9$ を数式に代入します。

$a_{n} = 3 \cdot - 9^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 3$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 9^{2 - 1} = 3 \cdot - 9^{1} = 3 \cdot - 9 = - 27$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 9^{3 - 1} = 3 \cdot - 9^{2} = 3 \cdot 81 = 243$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 9^{4 - 1} = 3 \cdot - 9^{3} = 3 \cdot - 729 = - 2187$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 9^{5 - 1} = 3 \cdot - 9^{4} = 3 \cdot 6561 = 19683$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 9^{6 - 1} = 3 \cdot - 9^{5} = 3 \cdot - 59049 = - 177147$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 9^{7 - 1} = 3 \cdot - 9^{6} = 3 \cdot 531441 = 1594323$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 9^{8 - 1} = 3 \cdot - 9^{7} = 3 \cdot - 4782969 = - 14348907$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 9^{9 - 1} = 3 \cdot - 9^{8} = 3 \cdot 43046721 = 129140163$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 9^{10 - 1} = 3 \cdot - 9^{9} = 3 \cdot - 387420489 = - 1162261467$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列