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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.8148148148148148

r=0.8148148148148148

この級数の和は次のようになります:

s = 48

s=48

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{n - 1}

a_n=27*0.8148148148148148^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

27, 22, 17.925925925925924, 14.606310013717419, 11.901437788954933, 9.697467828037352, 7.901640452474879, 6.438373702016568, 5.246082275717203, 4.274585557991794

27,22,17.925925925925924,14.606310013717419,11.901437788954933,9.697467828037352,7.901640452474879,6.438373702016568,5.246082275717203,4.274585557991794

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{22}{27} = 0.8148148148148148$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.8148148148148148$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 27$ 、共通比数: $r = 0.8148148148148148$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 27 * ((1 - {0.8148148148148148}^{2}) / (1 - 0.8148148148148148))$

$s_{2} = 27 * ((1 - 0.6639231824417009) / (1 - 0.8148148148148148))$

$s_{2} = 27 * (0.3360768175582991 / (1 - 0.8148148148148148))$

$s_{2} = 27 * (0.3360768175582991 / 0.18518518518518523)$

$s_{2} = 27 \cdot 1.8148148148148147$

$s_{2} = 48.99999999999999$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 27$ と共通比数: $r = 0.8148148148148148$ を数式に代入します。

$a_{n} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 27$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{2 - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{1} = 27 \cdot 0.8148148148148148 = 22$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{3 - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{2} = 27 \cdot 0.6639231824417009 = 17.925925925925924$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{4 - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{3} = 27 \cdot 0.540974444952497 = 14.606310013717419$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{5 - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{4} = 27 \cdot 0.44079399218351606 = 11.901437788954933$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{6 - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{5} = 27 \cdot 0.3591654751124945 = 9.697467828037352$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{7 - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{6} = 27 \cdot 0.2926533500916622 = 7.901640452474879$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{8 - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{7} = 27 \cdot 0.2384582852598729 = 6.438373702016568$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{9 - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{8} = 27 \cdot 0.1942993435450816 = 5.246082275717203$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{10 - 1} = 27 \cdot {0.8148148148148148}^{9} = 27 \cdot 0.15831798362932573 = 4.274585557991794$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列