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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.2857142857142857

r=0.2857142857142857

この級数の和は次のようになります:

s = 27

s=27

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{n - 1}

a_n=21*0.2857142857142857^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

21, 6, 1.7142857142857142, 0.48979591836734687, 0.1399416909620991, 0.039983340274885454, 0.011423811507110129, 0.0032639461448886083, 0.000932556041396745, 0.00026644458325621287

21,6,1.7142857142857142,0.48979591836734687,0.1399416909620991,0.039983340274885454,0.011423811507110129,0.0032639461448886083,0.000932556041396745,0.00026644458325621287

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{6}{21} = 0.2857142857142857$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.2857142857142857$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 21$ 、共通比数: $r = 0.2857142857142857$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 21 * ((1 - {0.2857142857142857}^{2}) / (1 - 0.2857142857142857))$

$s_{2} = 21 * ((1 - 0.08163265306122448) / (1 - 0.2857142857142857))$

$s_{2} = 21 * (0.9183673469387755 / (1 - 0.2857142857142857))$

$s_{2} = 21 * (0.9183673469387755 / 0.7142857142857143)$

$s_{2} = 21 \cdot 1.2857142857142858$

$s_{2} = 27.000000000000004$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 21$ と共通比数: $r = 0.2857142857142857$ を数式に代入します。

$a_{n} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 21$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{2 - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{1} = 21 \cdot 0.2857142857142857 = 6$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{3 - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{2} = 21 \cdot 0.08163265306122448 = 1.7142857142857142$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{4 - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{3} = 21 \cdot 0.02332361516034985 = 0.48979591836734687$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{5 - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{4} = 21 \cdot 0.006663890045814243 = 0.1399416909620991$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{6 - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{5} = 21 \cdot 0.001903968584518355 = 0.039983340274885454$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{7 - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{6} = 21 \cdot 0.0005439910241481013 = 0.011423811507110129$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{8 - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{7} = 21 \cdot 0.00015542600689945753 = 0.0032639461448886083$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{9 - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{8} = 21 \cdot 4.440743054270215 E - 05 = 0.000932556041396745$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{10 - 1} = 21 \cdot {0.2857142857142857}^{9} = 21 \cdot 1.2687837297914898 E - 05 = 0.00026644458325621287$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列